$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Endomorphismes des espaces euclidiens - problèmes

Exercice 1 - Endomorphismes anti-symétriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$. Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est dit antisymétrique si $$\forall x,y\in E,\ \langle u(x),y\rangle=-\langle x,u(y)\rangle.$$ Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés des endomorphismes antisymétriques.
  1. Montrer que $u$ est antisymétrique si et seulement si, pour tout $x\in E$, $\langle x,u(x)\rangle=0$.
  2. Montrer que $u$ est antisymétrique si et seulement si sa matrice dans toute base orthonormale est antisymétrique.
  3. On fixe pour la suite de l'exercice un endomorphisme antisymétrique $u\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $\textrm{Im}(u)=(\ker u)^\perp$.
  4. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Démontrer que $F^\perp$ est stable par $u$.
  5. Montrer que $\ker(u)=\ker(u^2)$.
  6. Démontrer que le spectre de $u$ est soit vide, soit restreint à $\{0\}$.
  7. Montrer que $u^2$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont négatives.
  8. Soit $F$ un espace euclidien, $v\in\mathcal L(F)$ antisymétrique tel que $v^2=-\alpha^2 Id_F$, où $\alpha>0$. Démontrer qu'il existe une base orthonormale de $F$ telle que la matrice de $v$ dans cette base soit de la forme $$A(\alpha)=\left( \begin{array}{cccc} J(\alpha)&0&\dots&0\\ 0&J(\alpha)&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&J(\alpha) \end{array}\right)$$ où $$J(\alpha)=\left(\begin{array}{cc} 0&-\alpha\\ \alpha&0 \end{array}\right).$$
  9. En déduire qu'il existe une base orthonormale de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a pour forme $$\left( \begin{array}{ccccc} A(\alpha_1)&0&\dots&0&0\\ 0&A(\alpha_2)&0&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&A(\alpha_r)&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&0 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé