Exercices corrigés - Polynômes sur d'autres corps ou sur des anneaux

Soit $\mathbb K\subset\mathbb L$ deux corps. On considère $P,Q\in\mathbb K[X]$.

Démontrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb K[X]$ si et seulement s'ils sont premiers entre eux dans $\mathbb L[X]$.
Plus généralement, démontrer que le pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynômes de $\mathbb K[X]$ est égal au pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynôme de $\mathbb L[X]$.

Exercice 2

- Polynôme irréductible sur $\mathbb Q[X]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles dans $\mathbb Q[X]$ : $$P=X^3+3X^2+2\textrm{ et }Q=X^4+1.$$

Exercice 3

- Sans facteur carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $p$ un nombre premier et $n\geq 1$ un entier non divisible par $p$.

Démontrer que le polynôme $X^n-1$ est premier avec son polynôme dérivé sur $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$.
En déduire que le polynôme $X^n-1$ ne possède pas de facteurs carrés sur $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$.

Exercice 4

- Irréductibilité par réduction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $p$ un nombre premier. Pour tout polynôme $P\in\mathbb Z[X]$, on note $\bar P$ son image (par réduction modulo $p$ de ses coefficients) dans $(\mathbb Z/p \mathbb Z)[X]$.

Soit $P\in\mathbb Z[X]$ unitaire. Montrer que si $\bar P$ est irréductible dans $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$, alors $P$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$. La réciproque est-elle vraie?
Démontrer que le polynôme $X^4+X+1$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$.

Exercice 5

- Critère d'irréductibilité d'Eisenstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Si $P\in\mathbb Z[X]$, on appelle contenu de $P$, et on note $c(P)$, le pgcd des coefficients de $P$.

Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $p$ un nombre premier. On suppose que $p$ divise tous les coefficients de $PQ$. Montrer que $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous les coefficients de $Q$.
Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $R(X)=\frac{PQ}{c(P)c(Q)}\in\mathbb Z[X]$. Démontrer que $c(R)=1$. En déduire que l'on a $c(PQ)=c(P)c(Q)$.
Soit $Q$ un polynôme de $\mathbb Z[X]$. On suppose que $Q$ n'est pas irréductible dans $\mathbb Q[X]$. Démontrer qu'il existe deux polynômes $A$ et $B$ de $\mathbb Z[X]$ tels que $Q=AB$, avec $\deg(A)<\deg(Q)$ et $\deg(B)<\deg(Q)$.
Soit $A(X)=a_n X^{n}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $$p|a_k,\textrm{ pour tout }0\leq k\leq n-1,\ p\not\mid a_n,\ p^2\not\mid a_0.$$ Démontrer que $A$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$.
Démontrer qu'il existe dans $\mathbb Q[X]$ des polynômes irréductibles de tout degré $n\geq 1$.

Il est possible de faire une preuve directe par l'absurde. Le plus simple, néanmoins est de raisonner dans $\mathbb Z/p\mathbb Z[X]$. Pour $R\in\mathbb Z[X]$, notons en effet $\bar R$ son projeté dans $\mathbb Z/p\mathbb Z[X]$. Alors, on a $\overline{PQ}=\bar P\bar Q$. De plus, puisque $p$ divise tous les coefficients de $PQ$, on a $\overline{PQ}=0$. Puisque $\mathbb Z/p\mathbb Z$ est intègre, ceci implique que $\bar P=0$ ou $\bar Q=0$. La première éventualité signifie que $p$ divise tous les coefficients de $P$, la seconde que $p$ divise tous les coefficients de $Q$.
Si $c(R)\neq 1$, il existe un nombre premier $p$ qui divise tous les coefficients de $R$. Notons $P_1=P/c(P)$ et $Q_1=Q/c(Q)$. Alors $R=P_1Q_1$ et donc d'après la première question, $p$ divise tous les coefficients de $P_1$ ou tous les coefficients de $Q_1$. Ceci contredit la définition du contenu. Puisque $1=c(R)=\frac{c(PQ)}{c(P)c(Q)}$, on obtient bien que $c(PQ)=c(P)c(Q)$.
Remarquons d'abord qu'on peut se ramener à $c(Q)=1$ (quitte ensuite à multiplier par $c(Q)$). Factorisons $Q=CD$ dans $\mathbb Q[X]$. Soit $\alpha$ et $\beta$ de sorte que $C_1=\alpha C$ et $D_1=\beta D$ soit éléments de $\mathbb Z[X]$. Alors $\alpha \beta Q=C_1D_1$. Utilisant le résultat de la question précédente, on a donc $\alpha\beta=c(C_1)c(D_1)$. Mais alors $$Q=\frac{C_1 D_1}{\alpha\beta}=\frac{C_1D_1}{c(C_1)c(D_1)}=\frac{C_1}{c(C_1)}\times \frac {D_1}{c(D_1)}.$$ On a le résultat voulu en posant $A=\frac{C_1}{c(C_1)}$ et $B=\frac{D_1}{c(D_1)}$.
Supposons que $A$ n'est pas irréductible dans $\mathbb Q[X]$. Alors d'après la question précédente, $A$ s'écrit $BC$, avec $1<\deg(B)<\deg(A)=n$. Projetons l'égalité $A=BC$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$. Il vient $$\overline{a_n}X^n =\overline{B}\times\overline{C}.$$ De plus, puisque $\deg(B)+\deg(C)=\deg(A)$, que $\deg(\bar B)\leq \deg(B)$, $\deg(\bar C)\leq \deg(C)$ et $\overline{a_n}\neq \bar 0$, $\deg(\bar B)=\deg(B)$ et $\deg(\bar C)=\deg(C)$. Par unicité de la réduction en produits d'irréductibles dans $\mathbb Z/p\mathbb Z[X]$, on a $\bar B=\overline{b_k}X^k$ et $\bar C=\overline{c_l}X^l$. En particulier, $\overline{b_0}=\overline{c_0}=0$, c'est-à-dire $p|b_0$ et $p|c_0$. Puisque $a_0=b_0c_0$, on a $p^2|a_0$, une contradiction.
Les polynômes de degré $1$ sont irréductibles. Pour les polynômes de degré $n\geq 2$, il suffit de considérer par exemple $X^n-2$, auquel on peut très facilement appliquer le critère d'Eisenstein.

Exercice 6

- Polynômes et fonctions polynomiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $\mathbb K$ un corps commutatif. On note $\mathcal F(\mathbb K)$ l'ensemble des fonctions polynomiales de $\mathbb K$ dans lui-même. Pour tout polynôme $P\in\mathbb K[X]$, on note $\tilde P$ la fonction polynomiale associée.

On suppose $\mathbb K$ infini. Vérifier que le morphisme de $\mathbb K$-algèbres $P\in\mathbb K[X]\mapsto \tilde P\in\mathcal F(K)$ est injectif. Que peut-on en déduire sur $\mathbb K[X]$ et $\mathcal F(\mathbb K)$?
Combien y-a-t-il d'éléments dans $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[X]$ et dans $\mathcal F(\mathbb Z/2\mathbb Z)$?
On suppose désormais jusqu'à la fin de l'exercice que $\mathbb K$ est de cardinal fini $q$. Soit $P\in\mathbb K[X]$ et $R$ le reste dans la division euclidienne de $P$ par $\prod_{a\in \mathbb K}(X-a)$. Démontrer que l'on a $\tilde P=\tilde R$.
Démontrer que $\mathcal F(\mathbb K)$ et $\mathbb K_{q-1}[X]$ sont isomorphes.