Exercices corrigés - Polynômes sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ : opérations, division euclidienne, arithmétique

Si $P=Q^2$ est le carré d'un polynôme, alors $Q$ est nécessairement de degré 2, et son coefficient dominant est égal à $1$ ou est égal à $-1$. Dans le premier cas, on peut donc écrire $Q(X)=X^2+cX+d$. On a alors $$Q^2(X)=X^4+2cX^3+(2d+c^2)X^2+2cdX+d^2.$$ Par identification, on doit avoir $2c=2a$, $2d+c^2=b$, $2cd=2$ et $d^2=1$. On trouve donc $c=a$ et $d=\pm 1$. Si $d=1$, alors $c=1$, et donc $a=1$ et $b=3$. Si $d=-1$, alors $c=-1$, $a=-1$ et $b=-1$. Les deux solutions sont donc \begin{eqnarray*} P_1(X)&=&X^4+2X^3+3X^2+2X+1=(X^2+X+1)^2\\ P_2(X)&=&X^4-2X^3-X^2+2X+1=(X^2-X-1)^2. \end{eqnarray*} Dans le deuxième cas, on écrit $Q(X)=-R(X)$ avec $R(X)=X^2+cX+d$, de sorte que $Q^2(X)=R^2(X)$ et on retrouve en réalité le cas précédent.

On trouve les résultats suivants :

1. Le quotient est $X^2+2X+7$, le reste est nul;
2. Le quotient est $X^2-3X-5$, le reste est $X+3$;
3. Le quotient est $X^3-X-1$, le reste est $X+3$.

Dans les deux cas, on remarquera que $R$ est de degré au plus $1$ et s'écrit donc $R(X)=\alpha X+\beta$.

1. Évaluons la relation $$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\alpha X+\beta$$ en $a$ et en $b$. On trouve le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha a +\beta &=&P(a)\\ \alpha b +\beta &=&P(b). \end{array}\right.$$ On en déduit alors facilement que $$\alpha=\frac{P(a)-P(b)}{a-b}\textrm{ et }\beta=\frac{aP(b)-bP(a)}{a-b}.$$
2. Évaluons la relation $$P(X)=(X-a)^2Q(X)+\alpha X+\beta$$ au point $a$. On trouve $P(a)=a\alpha+\beta$. Dérivons maintenant la relation précédente : $$P'(X)=2(X-a)Q(X)+(X-a)^2Q'(X)+\alpha.$$ On évalue à nouveau en $a$ et on trouve que $$\alpha=P'(a).$$ En revenant à la première équation, on en déduit que $\beta=P(a)-aP'(a).$

On sait que $P(X)=(X-a)Q_1(x)+1$, et donc $P(a)=1$. De même, on a $P(b)=-1$. La division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ s'écrit $$P(X)=(X-a)(X-b)Q(X)+\alpha X+\beta.$$ On évalue cette relation en $a$ et en $b$, et on trouve le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha a+\beta&=&1\\ \alpha b+\beta&=&-1. \end{array}\right. $$ La résolution de ce système ne pose pas de difficultés et donne comme unique solution $$\alpha=\frac{2}{a-b}\textrm{ et }\beta=\frac{-a-b}{a-b}.$$ Le reste recherché est donc $$\frac{2}{a-b}X+\frac{-a-b}{a-b}.$$

On sait que le reste est de degré au plus $1$, et on peut écrire $$(X\sin\alpha+\cos\alpha)^n =(X^2+1)Q(X)+aX+b$$ avec $a$ et $b$ des réels. On évalue cette égalité en $i$, racine de $X^2+1$, et on trouve $$(i\sin\alpha+\cos\alpha)^n =ai+b.$$ Mais $$(i\sin\alpha+\cos\alpha)^n=\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha).$$ Ainsi, le reste recherché est $\sin(n\alpha)X+\cos(n\alpha)$.

On rappelle qu'on note $j$ le nombre complexe $j=-\frac12+i\frac{\sqrt 3}2$.

1. La méthode pour ce type d'exercice est toujours la même. On commence par écrire a priori le résultat de la division euclidienne, par exemple pour le premier polynôme : $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-3X+2)+aX+b,$$ où $a$ et $b$ sont deux réels. On évalue ensuite la relation en les racines du diviseur, qui sont ici $1$ et $2$. On trouve alors $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2^n-2&=&a+b\\ 3^{n}-2^n-1&=&2a+b. \end{array}\right.$$ Et finalement on résout le système pour trouver $a$ et $b$, qui sont ici égaux à : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&3^n-2^{n+1}+1\\ b&=&-3^n+2^{n+1}+2^n-3. \end{array}\right.$$
2. On écrit la même chose, $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2+X+1)+aX+b,$$ et on utilise cette fois que les racines de $X^2+X+1$ sont $j$ et $j^2$. Il suffit ici en réalité d'utiliser l'évaluation en $j$, sachant que tout nombre complexe s'écrit de façon unique sous la forme $x+jy$, avec $x,y\in\mathbb R$. On trouve : $$(1+j)^n-j^n-1=Q(j)\times 0+aj+b.$$ On distingue ensuite suivant la valeur de $n$ modulo 3, utilisant que $$(1+j)^n-j^n-1=(-1)^nj^{2n}-j^n-1.$$
   • Si $n\equiv 0\ [3]$, alors $j^{2n}=j^n=1$, et donc on a $$(-1)^n-2=aj+b.$$ On identifie alors les coefficients et on trouve $a=0$ et $b=(-1)^n-2.$ Ainsi le reste est $(-1)^n-2$.
   • Si $n\equiv 1\ [3]$, alors $j^{n}=j$ et donc $j^{2n}=j^2=-1-j$, $j^n=j$, ce qui donne $$\big((-1)^{n+1}-1\big)j+\big( (-1)^{n+1}-1\big)=aj+b.$$ On identifie les coefficients et on trouve $$a=b=(-1)^{n+1}-1.$$ Le reste est donc $\big((-1)^{n+1}-1\big)(X+1).$
   • Si $n\equiv 2\ [3]$, alors $j^{2n}=j$ et $j^{n}=j^2=-1-j$. On trouve $$\big( (-1)^n +1\big)j=aj+b.$$ On identifie alors les coefficients et on trouve $a=(-1)^n +1$ et $b=0.$ Le reste est alors $\big( (-1)^n +1\big)X.$
3. On recommence en écrivant $$(X+1)^n-X^n-1=Q(X)(X^2-2X+1)+aX+b,$$ et en remarquant que $X^2-2X+1$ a pour racine double 1. Si on évalue en 1, on obtient une seule relation, à savoir $$2^n-2=a+b.$$ Pour obtenir une seconde relation, il faut dériver la relation issue de la division euclidienne et l'évaluer à nouveau en 1 (c'est toujours cette méthode qui fonctionne pour une racine double). On trouve : $$n(X+1)^{n-1}-nX^{n-1}=Q'(X)(X^2-2X+1)+2Q(X)(X-1)+a,$$ ce qui donne la relation $$n2^{n-1}-n=a.$$ On retrouve alors sans problèmes $b$, qui est égal à : $$b=(2-n)2^{n-1} +n-2.$$

Procédons par analyse-synthèse. Supposons donc que la propriété est vraie. Il existe alors un polynôme $Q$ et un polynôme $R$ avec $\deg(R)<\min(\deg(A),\deg(B))$ tel que $A=BQ+R$ et $B=AQ+R$. Mais alors, on a aussi \begin{eqnarray*} A=(AQ+R)Q+R=AQ^2+RQ+R&\iff &A(1-Q^2)-R(1+Q)=0\\ &\iff&A(Q+1)(1-Q)-R(1+Q)=0\\ &\iff&(Q+1)\big( A(1-Q)-R\big)=0. \end{eqnarray*} Si le produit de deux polynômes est nul, c'est que l'un de ces deux polynômes est nul. Ainsi, on a ou bien $1+Q=0$ ou bien $A(1-Q)-R=0$. On distingue donc deux cas

• Si $Q=-1$, alors $A=-B+R$ et $B=-A+R$. Autrement dit, il existe deux polynômes $P,R\in\mathbb R[X]$ avec $\deg(R)<\deg(P)$ tels que $A=P+R$ et $B=-P$.
• Si $Q\neq -1$, alors $A(1-Q)-R=0$. Pour des considérations de degré (rappelons que $\deg(R)<\deg(A))$, ceci n'est possible que si $Q=1$ et $R=0$. On obtient alors le cas trivial $A=B$.

Passons à la synthèse. Supposons que $A=B$ ou qu'il existe un couple de polynômes $(P,R)$ de $\mathbb R[X]$ avec $\deg(R)<\deg(P)$ tels que $A=P+R$ et $B=-P$. Alors les divisions euclidiennes de $A$ par $B$ et de $B$ par $A$ ont bien même quotient et même reste. C'est évident si $A=B$ et dans l'autre cas, l'écriture $A=-B+R$ donne que le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$ sont $-1$ et $R$, tandis que l'écriture $B=-P=-A+R$ donne le même reste et le même quotient dans la division euclidienne de $B$ par $A$.
On a donc démontré que l'ensemble des couples solutions est $$\mathcal S=\{(P,P);\ P\in\mathbb R[X]\}\cup \{(P+R,-P);\ P,R\in\mathbb R[X],\ \deg(R)<\deg(P)\}.$$

On va démontrer que $X^p-1$ divise $P-R$. En effet, le degré de $R$ est inférieur strict à $p$, et $R$ sera bien le reste dans la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$. On écrit alors que $$P-R=\sum_{k=0}^n a_k (X^k-X^{r_k}),$$ et il suffit de prouver que $X^p-1$ divise chaque $X^k-X^{r_k}$. Si $k<p$, alors $r_k=k$ et donc $X^p-1$ divise $X^k-X^{r_k}=0.$ Sinon, écrivons $k=mp+r_k$, avec $m\geq 1,$ d'où l'on tire $$X^k-X^{r_k}=X^{r_k}(X^{mp}-1)=X^{r_k}(X^p-1)(1+X^p+\dots+X^{(m-1)p}).$$ $X^p-1$ divise bien $P-R$!

Puisque $P'\in\mathbb R_2[X]$ et que $P'$ est divisible par $(X-1)^2$, alors il existe $a\in\mathbb R$ tel que $P'(X)=3a(X-1)^2$. Par intégration, il existe $b\in\mathbb R$ tel que $P(X)=a(X-1)^3+b$. Maintenant, $P$ est divisible par $X+1$ si et seulement si $P(-1)=0$. Mais $$P(-1)=-8a+b=0\iff b=8a.$$ Ainsi, les polynômes recherchées sont ceux qui s'écrivent $$P(X)=a(X-1)^3+8a,\ a\in\mathbb R.$$

On réalise la division euclidienne de $X^4 + X^3 + \lambda X^2 + \mu X + 2$ par $X^2+2$, et on trouve : $$X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2=(X^2+2)(X^2+X+(\lambda-2))+(\mu-2)X+6-2\lambda.$$ Le polynôme $X^2+2$ divise donc $X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2$ si et seulement si le reste est nul, donc si et seulement si $\mu=2$ et $\lambda=3$.
Une autre possibilité est de remarquer que les racines de $X^2+2$ sont $\sqrt 2i$ et $-\sqrt 2i$, et donc que la décomposition en produits d'irréductibles de $X^2+2$ est $(X-\sqrt 2i)(X+\sqrt 2i)$. Pour que $X^4 + X^3 + \lambda X^2 + \mu X + 2$ soit divisible par $X^2+2$, il faut et il suffit que $\sqrt 2i$ et $-\sqrt 2i$ soient racines de $X^4 + X^3 + \lambda X^2 + \mu X + 2$. On évalue ce polynôme en $\sqrt 2i$ et $-\sqrt 2i$ et on trouve un système linéaire que doit vérifier le couple $(\lambda,\mu)$. On trouve bien sûr la même solution.

On écrit la division euclidienne de $B$ par $A$, $B=AQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(A)$. On compose alors par $P$, et on obtient $B\circ P=(A\circ P)\times(Q\circ P)+R\circ P$. Or, le polynôme $A\circ P$ a pour degré $\deg(A)\times\deg(P)$. Le polynôme $R\circ P$ a pour degré $\deg(R)\times\deg(P)$. On en déduit que $\deg(R\circ P)<\deg(A\circ P)$ et donc que $B\circ P=(A\circ P)\times(Q\circ P)+R\circ P$ est la division euclidienne de $B\circ P$ par $A\circ P$. Mais on sait que $A\circ P|B\circ P$ et donc on en déduit que $R\circ P$ est égal à 0. Ceci n'est possible que si $R=0$, et donc $A|B$.

Puisque $P'|P$, $P=QP'$, et les considérations de degré font que $Q$ est de degré 1. On peut donc écrire : $$P=\lambda(X-\alpha)P'.$$ On applique ensuite la formule de Taylor à $P$ en $\alpha$ : $$P(X)=\sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k,$$ $$P'(X)=\sum_{k=1}^n \frac{k P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k-1},$$ $$\lambda(X-\alpha)P'(X)=\sum_{k=1}^n\frac{\lambda k P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k}.$$ Par identification, on obtient, pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$ : $$\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(\lambda k-1)=0.$$ Maintenant, $P^{(n)}(\alpha)\neq 0$, et donc $\lambda=1/n$. Ceci entraîne par suite que, pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n-1\}$, on a : $$P^{(k)}(\alpha)=0.$$ Ainsi, $$P(X)=\frac{P^{(n)}(\alpha)}{n!}(X-\alpha)^n,$$ ce qui prouve que $P(X)=K(X-\alpha)^n$, où $K$ est une constante. La réciproque se vérifie aisément.

On utilise l'algorithme d'Euclide. On a \begin{eqnarray*} X^7-X-1&=&(X^5-1)X^2+X^2-X-1\\ X^5-1&=&(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)+5X+2\\ X^2-X-1&=&(5X+2)(X/5-7/25)-11/25. \end{eqnarray*} On remonte ensuite les calculs. On va partir plutôt de $$11=-25(X^2-X-1)+(5X-7)(5X+2)$$ pour éviter de trainer des fractions. On trouve alors successivement : \begin{eqnarray*} 11&=&-25(X^2-X-1)+(5X-7)\big((X^5-1)-(X^2-X-1)(X^3+X^2+2X+3)\big)\\ &=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^2-X-1)+(5X-7)(X^5-1)\\ &=&(-5X^4+2X^3-3X^2-X-4)(X^7-X-1)+(5X^6-2X^5+3X^4+X^3+4X^2+5X-7)(X^5-1). \end{eqnarray*} Il suffit de diviser par 11 pour obtenir les polynômes $U$ et $V$.

Supposons que $P$ et $Q$ ont un facteur commun $D$. On factorise $P=DB$ et $Q=DA$, $A$ et $B$ vérifient les conditions voulues. Réciproquement, si $P\wedge Q=1$ et $AP=BQ$, alors $P|BQ$ et par le théorème de Gauss $P|B$. Ceci contredit les contraintes imposées à $B$.

On commence par remarquer que les polynômes $(X-1)^2$ et $(X+1)^2$ sont premiers entre eux, une relation de Bezout entre eux étant obtenue par la formule $$\left(\frac X4+\frac12\right)(X-1)^2+\left(\frac{-X}4+\frac12\right)(X+1)^2=1.$$ On doit résoudre le système de "congruence" suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} P(X)&\equiv&-1\ [(X-1)^2]\\ P(X)&\equiv&1\ [(X+1)^2]\\ \end{array} \right. $$ La première équation donne $P(X)=-1+U(X)(X-1)^2$, et, en reportant dans la deuxième équation, on trouve $$U(X)(X-1)^2\equiv 2\ [(X+1)^2].$$ On multiplie alors les deux membres par $(X/4+1/2)$, qui est tel que $(X/4+1/2)(X-1)^2\equiv 1\ [(X+1)^2]$. On en déduit $$U(X)\equiv (X/2+1)\ [(X+1)^2]\implies U(X)=(X/2+1)+V(X)(X+1)^2.$$ Les solutions du système de congruence sont donc les polynômes de la forme $$P(X)=-1+(X/2+1)(X-1)^2+V(X)(X-1)^2(X+1)^2,$$ où $V$ est un polynôme quelconque. La seule solution dans $\mathbb R_3[X]$ est $$P(X)=\frac{X^3}{2}-\frac{3X}{2}.$$

Une idée possible est d'appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de ces deux polynômes. On suppose par exemple $n>m$, et on écrit $n=mp+r$, avec $0\leq r<m$. Alors on a : $$X^n-1=X^{mp+r}-1=X^r(X^{mp}-1)+X^r-1.$$ Le point crucial est que $X^{mp}-1$ est divisible par $X^m-1$. En effet, $$X^{mp}-1=(X^m-1)(X^{m(p-1)}+X^{m\big((p-1)-1\big)}+\dots+X^m+1).$$ Ainsi, $\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=\textrm{pgcd}(X^m-1,X^r-1)$. Mais puisque $\textrm{pgcd}(n,m)=\textrm{pgcd}(m,r)$, on en déduit finalement que $$\textrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^{\textrm{pgcd}(n,m)}-1.$$