$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Fractions rationnelles

Généralités
Enoncé
Démontrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F$ tel que $F^2=X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $F\in\mathbb K(X)$. Montrer que si $\deg(F')<\deg(F)-1$, alors $\deg(F)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de $(X^p-1)/(X^q-1)$, en précisant leur ordre de multiplicité.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $F=P/Q\in\mathbb C(X)$ une fraction rationnelle, avec $P\wedge Q=1$, telle que $F'=1/X$.
  1. Démontrer que $X|Q$.
  2. Soit $n\geq 1$ tel que $X^n|Q$. Démontrer que $X^{n}|Q'$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Fraction rationnelle à valeurs rationnelles sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $R(X)=\frac{P(X)}{Q(X)}$ une fraction rationnelle de $\mathbb R[X]$ avec $P\wedge Q=1$ et telle que $R(n)\in\mathbb Q$ pour une infinité d'entiers $n\in\mathbb N$. On veut démontrer que $R(x)=\frac{P_1(X)}{Q_1(X)}$ où $P_1,Q_1\in\mathbb Z[X]$. On note $\omega(R)=\deg(P)+\deg(Q)$.
  1. Démontrer le résultat si $\omega(R)=0$.
  2. Soit $d\geq 0$. On suppose que le résultat est vrai pour toute fraction rationnelle $R$ tel que $\omega(R)\leq d$ et on souhaite le prouver pour toute fraction rationnelle telle que $\omega(R)=d+1$. On fixe donc $R=P/Q$ une fraction rationnelle telle que $\omega(R)=d+1$ et $R(n)\in\mathbb Q$ pour tout $n\in\mathbb N$.
    1. Pourquoi peut-on supposer que $\deg(P)\geq \deg(Q)$?
    2. Soit $n\in\mathbb N$ tel que $Q(n)\neq 0$ et $P(n)/Q(n)\in\mathbb Q$. On pose $$P_0(X)=\frac{P(X)Q(n)-Q(X)P(n)}{Q(n)(X-n)}.$$ Justifier que $P_0\in\mathbb R[X]$ avec $\deg(P_0)<\deg(P)$.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Décomposition en éléments simples
Enoncé
Décomposer sur $\mathbb R$ les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2}&\quad\quad\mathbf{2.}\quad \displaystyle\frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)} &\quad\quad\mathbf{3.}\quad \displaystyle \frac 1{X^4-1} \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{1}{X^3-X}&\quad\quad\mathbf{2.}\quad \displaystyle \frac{X^3}{(X-1)(X-2)(X-3)} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{2X^2+1}{(X^2-1)^2}& \quad\quad\mathbf{2.}\quad\displaystyle\frac{X^3+1}{(X-1)^3} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Pôle multiple et facteur irréductible de degré $2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Décomposer en éléments simples sur $\mathbb R$ la fraction rationnelle suivante : $$\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad \frac{1}{X^n-1}& \displaystyle\quad\quad\mathbf{2.}\quad\frac{X^{n-1}}{X^n-1}& \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad \frac{X^m}{(X-1)^n}& \displaystyle\quad\quad\mathbf{2.}\quad\frac{1}{X(X+1)\cdots (X+n)}& \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante : $$\frac{1}{(X-1)(X^n-1)}.$$
Corrigé
Applications
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \displaystyle x\mapsto \frac{1}{1-x^2}\textrm{ sur }]1,+\infty[&\quad\quad&\mathbf{2.}\ \displaystyle x\mapsto\frac x{x^3-7x+6}\textrm{ sur }]2,+\infty[. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $$\frac{5X^2+21X+22}{(X-1)(X+3)^2}$$ en éléments simples.
  2. En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Corrigé
Enoncé
Pour $x>0,$ on pose $$f(x)=\frac{x^4+x^3+4x^2+2x+2}{x^3+x}.$$
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $$\frac{X^4+X^3+4X^2+2X+2}{X^3+X}.$$
  2. En déduire la valeur de $\int_1^2 f(x)dx.$
Corrigé
Exercice 16 - Dérivée $n$-ème d'une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Déterminer la dérivée $n$-ème de la fonction suivante : $$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac{1}{X(X+1)(X+2)}$.
  2. En déduire la limite de la suite $(S_n)$ suivante : $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 1$ possédant $n$ racines distinctes $x_1,\dots,x_n$ non-nulles.
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle \frac1{XP(X)}$.
  2. En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k P'(x_k)}=\frac{-1}{P(0)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Racines des polynômes trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_n$ des réels et $P$ le polynôme trigonométrique défini par $$P(x)=\sum_{k=0}^n\big(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\big).$$ Démontrer que $P$ admet au plus $2n$ racines dans $[0,2\pi[$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Somme de l'inverse des dérivées aux racines [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P(X)=\prod_{k=1}^{n}(X-x_k)\in\mathbb R_n[X]$ un polynôme scindé à racines simples de degré $n\geq 2$.
  1. Décomposer en éléments simples $1/P$.
  2. En déduire la valeur de $\sum_{k=1}^n \frac1{P'(x_k)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Décomposer en éléments simples la fraction $\frac{P'}P$, où $P$ est un polynôme de $\mathbb C[X]$.
  2. En déduire les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P'|P$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Enveloppe convexe des zéros [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb C_n[X]$ admettant $n$ racines simples $\alpha_1,\dots,\alpha_n$. Soient $A_1,\dots,A_n$ les points du plan complexe d'affixe respectives $\alpha_1,\dots,\alpha_n$.
  1. Décomposer la fraction rationnelle $P'/P$ en éléments simples.
  2. Soit $\beta$ une racine de $P'$, et soit $B$ son image dans le plan complexe. Déduire de la question précédente que $$\sum_{j=1}^n \frac{1}{\beta-\alpha_j}=0.$$
  3. En déduire que $B$ est un barycentre de la famille de points $(A_1,\dots,A_n)$, avec des coefficients positifs. Interpréter géométriquement cette propriété.
Indication
Corrigé