Exercices corrigés - Nombres complexes : géométrie

1. On trace $M'$ l'image de $M$ par la rotation d'angle $\pi/2$. L'ensemble recherché est la demi-droite $(OM')$.
2. Il s'agit du cercle de centre $O$ et de rayon $2OM$.
3. Il s'agit de la droite $(OM)$, excepté le point $O$ (droite et non demi-droite car l'égalité est modulo $\pi$ et non modulo $2\pi$).
4. On a $\arg(z)+\arg(\bar z)=0\ [2\pi]$ et donc l'ensemble recherché est la demi-droite $(O,\vec i)$.

On a $AM=|z-1|,$ $BM=|z+1|,$ $CM=|z-i|$ et $DM=|z+i|.$ Alors \begin{align*} p(M)&=|z-1|\times |z+1|\times |z-i|\times |z+i|\\ &=|z^2-1|\times |z^2+1|\\ &=|z^4-1|. \end{align*} Par l'inégalité triangulaire, $$p(M)\leq |z^4|+1=|z|^4+1=2.$$ Ainsi, $p(M)\leq 2.$ De plus, si $M$ est le point d'affixe $e^{i\pi/4},$ alors $$p(M)=|e^{i\pi}-1|=|-2|=2.$$ Ainsi, le maximum de $p$ sur $\mathcal C$ est $2$.

Posons $a=e^{i\theta}$. Alors les racines de $z^n=a$ sont données par $z_k=e^{i(2k\pi+\theta)/n}$, $k=0,\dots,n-1$. Factorisant par l'angle moitié et utilisant les formules d'Euler, on a $$1+z_k=2\cos\left(\frac{2k\pi+\theta}{2n}\right)e^{i(2k\pi+\theta)/2n}$$ soit $$(1+z_k)^n=2^n \cos^n \left(\frac{2k\pi+\theta}{2n}\right)e^{i(2k\pi+\theta)/2}=2^n \cos^n \left(\frac{2k\pi+\theta}{2n}\right)e^{i(k\pi+\theta/2)}.$$ Tous les points d'affixe $(1+z_k)^n$ sont donc situés sur la droite qui fait un angle $\theta/2$ avec l'axe des abscisses. Ainsi, ils sont alignés.

Le triangle est équilatéral si et seulement si $$z_3-z_1=e^{i\pi/3}(z_2-z_1)\textrm{ ou }z_3-z_1=e^{-i\pi/3}(z_2-z_1),$$ c'est-à-dire si et seulement si $$z_3-(1-e^{i\pi/3})z_1-e^{i\pi/3}z_2=0\textrm{ ou }z_3-(1-e^{-i\pi/3})z_1-e^{-i\pi/3}z_2=0.$$ Ceci est encore équivalent à dire que le produit de ces deux quantités est nul, c'est-à-dire à $$(z_3-(1-e^{i\pi/3})z_1-e^{i\pi/3}z_2)(z_3-(1-e^{-i\pi/3})z_1-e^{-i\pi/3}z_2)=0.$$ En développant ce produit, on trouve exactement la condition demandée.

On peut supposer que les 3 points sont distincts deux à deux (sinon la relation est trivialement vérifiée). Dire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés signifie qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}.$ Autrement dit, avec les notations précédents, $A,$ $B$ et $C$ sont alignés si et seulement il existe un réel $\lambda$ tel que $c-a=\lambda(b-a)$ c'est-à-dire si et seulement si $(b-a)/(c-a)\in\mathbb R.$ On va prouver que la condition de l'énoncé est équivalente à celle-ci. Écrivons $b=a+u$ et $c=a+v$ avec $u,v\in\mathbb C.$ On a alors \begin{align*} a\bar b&=|a|^2+a\bar u\\ b\bar c&=|a|^2+\bar a u+a\bar v+u\bar v\\ c\bar a&=|a|^2+\bar a v \end{align*} Finalement, utilisant $z+\bar z=2\Re e(z),$ on trouve $$a\bar b+b\bar c+c\bar a=3|a|^2+2\Re e(a\bar u+a\bar v)+u\bar v.$$ Ainsi, $$a\bar b+b\bar c+c\bar a\in\mathbb R\iff u\bar v\in\mathbb R\iff (b-a)\overline{(c-a)}\in\mathbb R.$$ Mais en utilisant par exemple que \begin{align*} \textrm{arg}\left((b-a)\overline{(c-a)}\right)&=\textrm{arg}(b-a)+\textrm{arg}(\overline{c-a})\ [2\pi]\\ &=\textrm{arg}(b-a)-\textrm{arg}(c-a)\ [2\pi]\\ &=\textrm{arg}\left(\frac{b-a}{c-a}\right)\ [2\pi] \end{align*} on conclut que c'est équivalent à $(b-a)/(c-a)\in\mathbb R$ et donc à l'alignement des 3 points.

Notons $M$ le point d'affixe $z$, $A$ le point d'affixe $1-i$ et $B$ le point d'affixe $-5+3i$, de sorte que $$\textrm{arg}\left(\frac{z-1+i}{z+5-3i}\right)=(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})\ [2\pi].$$

1. Un nombre complexe (non-nul) est réel si et seulement si son argument est égal à $0$ modulo $2\pi$. Ainsi, $\displaystyle \frac{z-1+i}{z+5-3i}$ est un réel si et seulement si $M=A$ ou bien $$(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=0\ [\pi].$$ Ceci est équivalent au fait de dire que $M$ est sur la droite $(AB)$, sauf en $B$.
2. Un nombre complexe (non nul) est imaginaire pur si et seulement si son argument est égal à $\pi/2$ modulo $2\pi$. Ainsi, $\displaystyle \frac{z-1+i}{z+5-3i}$ est un imaginaire si et seulement si $M=A$ ou bien $$(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=\frac\pi 2\ [\pi].$$ Ceci est équivalent au fait de dire que $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$, sauf en $B$.

On commence par étudier les cas où deux de ces points sont confondus. L'équation $z=z^2$ a pour solution $z=1$ et $z=0$. L'équation $z=z^4$ a pour solutions $z=0$ et $z=1,j,j^2$. L'équation $z^2=z^4$ a pour solutions $z=0,1,-1$. On suppose désormais que $z$ est différent des nombres précédemment trouvés, et on remarque que les points sont alignés si et seulement si $$\arg\left(\frac{z^4-z}{z^2-z}\right)=0\ [\pi]\iff \frac{z^4-z}{z^2-z}\in\mathbb R.$$ Or, en notant $z=x+iy$, on a $$\frac{z^4-z}{z^2-z}=\frac{z(z-1)(z^2+z+1)}{z(z-1)}=z^2+z+1=(x^2-y^2+x+1)+iy(2x+1).$$ Ainsi, on en déduit que, dans ce cas, les points $z$, $z^2$ et $z^4$ sont alignés si et seulement si $y=0$ ou $x=-1/2$, c'est-à-dire si et seulement si $z$ est réel ou sa partie réelle vaut $-1/2$. Remarquons que l'on retrouve les solutions précédentes, $0$, $1$, $-1$, $j$ et $j^2$.

On note $a=x+iy$ et $b=x'+iy'$ les affixes respectives de $A$ et $B$. Par hypothèse, $x$, $x'$, $y$ et $y'$ sont des entiers. Puisque $ABCD$ est un carré, $D$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/2$. Traduit en termes de nombres complexes, si $d$ est l'affixe de $D$, ceci signifie que $$d-a=i(b-a)\implies d=a+i(b-a)=x+iy+i\big((x'-x)+i(y'-y)\big)=x+y-y'+i(y+x'-x).$$ Ainsi, les coordonnées de $D$ sont bien des entiers. Pour prouver que les coordonnées de $C$ sont des entiers, on procède de la même façon, en utilisant cette fois le fait que $C$ est l'image de $A$ dans la rotation de centre $D$ et d'angle $\pi/2$.
Imaginons maintenant que $ABC$ soit un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières, et gardons les notations précédentes. Alors, $C$, d'affixe $c=x''+iy''$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/3$. Autrement dit, $$c-a=e^{i\pi/3}(b-a)\implies c=(x+iy)+\left(\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2\right)\big((x'-x)+i(y'-y)\big).$$ On développe, et après calcul, on trouve que $$c=x+\frac{x'-x}2-\frac{\sqrt 3(y'-y)}{2}+i\left(y+\frac{y'-y}2+\frac{\sqrt 3(x'-x)}{2}\right).$$ Pour que la partie réelle de $c$ soit un entier, il est nécessaire que $y=y'$ et pour que la partie imaginaire de $c$ soit nulle, il est nécessaire que $x=x'$. Finalement, ceci entraine $A=B$, c'est-à-dire que le triangle est réduit à un point!