Exercices corrigés - Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme
Manipulation des symboles sommes et produits
Enoncé
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle?
- La somme $\sum_{k=0}^n 2$ $$\mathbf a.\textrm{ n'a pas de sens}\ \ \mathbf b. \textrm{ vaut }2(n+1)\ \ \mathbf c.\ \textrm{vaut }2n.$$
- La somme $\sum_{p=0}^{2n+1}(-1)^p$ est égale à $$\mathbf a.\ 1\ \ \mathbf b.\ -1\ \ \mathbf c.\ 0.$$
- Le produit $\prod_{i=1}^n (5a_i)$ est égal à $$\mathbf a.\ 5\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf b.\ 5^n\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf c.\ 5^{n-1}\prod_{i=1}^n a_i.$$
Enoncé
Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes :
- $2^3+2^4+\cdots+2^{12}$.
- $\frac 12+\frac24+\frac{3}8+\cdots+\frac{10}{1024}$.
- $2-4+6-8+\cdots+50$.
- $1-\frac 12+\frac13-\frac 14+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac{1}{2n}$.
Enoncé
Écrire à l'aide du symbole $\sum$ les sommes suivantes :
- $n+(n+1)+\dots+2n$;
- $\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_{n-1}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_2}+\frac{x_n}{x_1}$.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k$. Simplifier $u_{n+1}-u_n$ puis étudier la monotonie de $(u_n)$.
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Démontrer que
$$\sum_{k=n+1}^{2n-1}\ln\left(\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right)=\sum_{k=1}^{n-1} \ln\left(\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right).$$
Enoncé
Calculer la somme $\sum_{k=1}^n \left(\frac 1k-\frac1{n+1-k}\right)$.
Enoncé
Simplifier les sommes et produits suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\mathbf 1.\ \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac 1k\right)&\quad\quad&\mathbf 2.\ \prod_{k=2}^n \left(1-\frac1{k^2}\right)\\
\mathbf 3.\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+2)(k+3)}.
\end{array}$$
Enoncé
Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $k\in\mathbb N$,
$$\frac 1{(k+1)(k+3)}=\frac a{k+1}+\frac b{k+3}.$$
En déduire la valeur de la somme
$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+3)}.$$
Enoncé
En utilisant une somme télescopique, calculer $\sum_{k=1}^n k\cdot k!$.
Enoncé
- Déterminer une suite $(u_k)$ telle que, pour tout $k\geq 0$, on ait $$u_{k+1}-u_k=(k+2) 2^k.$$
- En déduire $\sum_{k=0}^{n}(k+2)2^k.$
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a
$$(n+1)!\geq\sum_{k=1}^n k!\quad.$$
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $x_1,\dots,x_n$ des réels vérifiant
$$\sum_{k=1}^n x_k=n\textrm{ et }\sum_{k=1}^n x_k^2=n.$$
Démontrer que, pour tout $k$ dans $\{1,\dots,n\}$, $x_k=1$.
Calcul de sommes et de produits
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$, on note
$$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$
Démontrer que $\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.
Enoncé
Calculer les somme suivantes :
- $A_n=\sum_{k=1}^n 3$.
- $B_n=\sum_{k=1}^n A_k$.
- $S_n=\sum_{k=0}^{n}(2k+1)$.
Enoncé
Calculer les sommes suivantes :
- $S=\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^{20}}+\frac{1}{2^{30}}+\cdots+\frac{1}{2^{1000}}$.
- $T_n=\sum_{k=0}^n \frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}$.
Exercice 16 - Calcul de sommes par changements d'indice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la somme suivante :
$$\sum_{k=1}^n (n-k+1).$$
Exercice 17 - Calcul de sommes avec indices négatifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la somme suivante :
$$\sum_{k=-5}^{15} k(10-k).$$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N$.
- Calculer $A_n=\sum_{k=2n+1}^{3n}(2n)$.
- Calculer $B_n=\sum_{k=n}^{2n}k$.
- En déduire la valeur de $S_n=\sum_{k=n}^{3n}\min(k,2n)$.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}$. Calculer explicitement $u_n$, puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note
$$P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac xk\right).$$
- Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$?
- Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a $$P_n(x)=\frac {x+n}xP_n(x-1).$$
- Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme.
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$, notons
$$P_n=\prod_{k=1}^n \left(1-\frac1{(k+1)^2}\right),\ Q_n=\prod_{k=1}^n \left(1-\frac 1{k+1}\right),\ R_n=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac 1{k+1}\right).$$
- Montrer que $P_n=Q_n\times R_n.$
- Simplifier $Q_n$ et $R_n$.
- En déduire la limite de $(P_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.$
Exercice 22 - Somme géométrique dans tous ses états [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit pour $n\in\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$. Calculer les sommes suivantes :
$$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\quad \left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}.$$
Enoncé
- Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets.
- Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a $$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}.$$ Retrouver le résultat précédent.
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$.
- Calculer $S_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k.$
- En déduire la valeur de $T_n(x)=\sum_{k=0}^n k x^k.$
Enoncé
Soient $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ en posant :
$$A_n=\sum_{k=0}^n a_k,\quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n.$$
- Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k.$
- En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$.
Sommes doubles
Exercice 26 - Comment permuter une somme double? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_{i,j})_{(i,j)\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Intervertir les sommes doubles suivantes :
- $S_1=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{i,j}$;
- $S_2=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i}a_{i,j}$;
- $S_3=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^m a_{i,j}$ où on a supposé $n\leq m$.
Enoncé
Calculer les sommes doubles suivantes :
- $\sum_{1\leq i,j\leq n}ij$.
- $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac ij$.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$.
Enoncé
En écrivant que
$$\sum_{k=1}^n k2^k=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k 2^k,$$
calculer $\sum_{k=1}^n k2^k$.
Exercice 30 - Somme triple, coefficients binomiaux, somme géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est d'établir, sans raisonnement par récurrence, la splendide formule suivante :
$$\forall m\in\mathbb N^*,\ \sum_{n=0}^m \sum_{q=0}^n \sum_{p=0}^q \binom np\binom {n-p}{n-q}=\frac{3^{m+1}-1}{2}.$$
- Soit $(n,p,q)\in\mathbb N^3$ tels que $p\leq q\leq n$. Vérifier que $$\binom np\binom{n-p}{n-q}=\binom nq\binom qp.$$
- En déduire que, pour tout $(n,q)\in\mathbb N^2$ avec $q\leq n,$ $$\sum_{p=0}^q \binom np\binom{n-p}{n-q}=2^q \binom nq$$ puis prouver que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $$\sum_{q=0}^n \sum_{p=0}^q \binom np\binom{n-p}{n-q}=3^n.$$
- En déduire la formule annoncée.
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on note
$$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$
Pour cet exercice, on admettra que $\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ et que $c_n=a_n^2$.
- Calculer $\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij$.
- Calculer $\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \min(i,j)$.
Coefficients binômiaux - formule du binôme
Exercice 32 - Factorielle et coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soient $n,p\geq 1$. Démontrer que $$\binom{n}{p}=\frac np \binom {n-1}{p-1}.$$
- Pour $n\in\mathbb N$ et $a,b$ réels non nuls, simplifier les expressions suivantes : $$\mathbf 1.\ (n+1)!-n!\ \quad\mathbf 2.\ \frac{(n+3)!}{(n+1)!}\ \quad\mathbf 3.\ \frac{n+2}{(n+1)!}-\frac 1{n!}\ \quad\mathbf 4.\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\textrm{ où }u_n=\frac{a^n}{n!b^{2n}}.$$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N$.
- Pour quels entiers $p\in\{0,\dots,n-1\}$ a-t-on $\binom np<\binom n{p+1}$.
- Soit $p\in\{0,\dots,n\}$. Pour quelle(s) valeur(s) de $q\in\{0,\dots,n\}$ a-t-on $\binom np=\binom nq$?
Enoncé
Soit $p\geq 1$. Démontrer que $p!$ divise tout produit de $p$ entiers naturels consécutifs.
Enoncé
- Développer $(x+1)^6$, $(x-1)^6$.
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np=2^n.$
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np 2^p=3^n$.
- Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n}k (-1)^k 2^{k-1}=0.$
Enoncé
- Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $(a+b+c)^7$?
- Calculer la somme $$\binom{n}0+\frac12\binom{n}1+\dots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}.$$
- Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. En développant de deux façons différentes $(1+x)^m$, démontrer que $$\binom{m}{p}=\binom{m-q}p+\binom{q}1\binom{m-q}{p-1}+\dots+\binom{q}k\binom{m-q}{p-k}+\dots+\binom{m-q}{p-q}.$$
Enoncé
Soient $n,p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer que
$$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}.$$
Enoncé
Calculer $(1+i)^{4n}$. En déduire les valeurs de
$$\sum_{p=0}^{2n}(-1)^p \dbinom{4n}{2p}\textrm{ et }\sum_{p=0}^{2n-1}(-1)^p \dbinom{4n}{2p+1}.$$
Enoncé
- Soient $m,k$ deux entiers naturels. Justifier que $$\binom{m+k}{m}=\binom{m+k+1}{m+1}-\binom{m+k}{m+1}.$$
- En déduire, pour tous entiers naturels $m,n\in\mathbb N^*$, la valeur de $$S=\sum_{k=0}^n \binom{m+k}{m}.$$
- En déduire celle de $$P=\sum_{k=0}^n \left(\prod_{p=1}^m(k+p)\right).$$
Enoncé
Quel est le coefficient de $x^ay^bz^c$ dans le développement de l'expression $(x+y+z)^n$?
Enoncé
Calculer les sommes suivantes :
$${S}_{n}=\sum^{n}_{k=0} (-1)^k\binom{n}{k}^{2}\textrm{ et }
{T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k\binom{n}{k}^{2}.$$
Exercice 42 - Une somme à partir de la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'objectif de l'exercice est de démontrer la (surprenante!) formule suivante :
$$\sum_{k=1}^n \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}k=\sum_{k=1}^n\frac 1k.$$
- Soit $x$ un réel non nul. Démontrer que $$\frac{1-(1-x)^n}{x}=\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p.$$
- On pose pour $x\in\mathbb R$, $$f(x)=\sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^k}k x^k.$$ Démontrer que, pour $x\in\mathbb R$, on a $$f'(x)=-\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p.$$
- Conclure.
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x,y$ des entiers naturels.
- Soit $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $(3+2\sqrt 2)^n =x_n+\sqrt 2 y_n.$
- Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
- En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes.
- Démontrer le résultat annoncé.