Méthodes : Séries numériques
Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ converge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels qui garde un signe constant, on peut
- trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha>1$ ou $v_n=a^n$ avec $0<a<1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice).
- trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq u_n\leq v_n$ (voir cet exercice ou cet exercice).
- démontrer que les sommes partielles sont majorées (voir cet exercice).
- utiliser le critère de d'Alembert, particulièrement approprié si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ diverge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels qui garde un signe constant, on peut
- trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha\leq 1$ ou $v_n=a^n$ avec $a\geq 1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice);
- trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq v_n\leq u_n$;
- démontrer que le terme général ne tend pas vers 0;
- utiliser le critère de d'Alembert, particulièrement approprié si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles (voir cet exercice).
- étudier la convergence absolue (voir cet exercice). Attention, la convergence absolue n'est qu'une condition suffisante de convergence;
- démontrer que le terme général ne tend pas vers 0 (attention, ceci n'est qu'une condition suffisante de divergence);
- utiliser le critère des séries alternées;
- à l'aide de développements limités, décomposer le terme général $u_n$ en une somme finie de termes $u_n=a_n+b_n+\cdots$ tels que l'on sait étudier la convergence de $\sum_n a_n,$ $\sum_n b_n,$ ... Si au plus une de ces séries est divergente, on peut déterminer la nature de $\sum_n u_n$ (voir cet exercice).
Pour étudier une série du type $\sum_n \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}$ ou $\sum_n \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}$, lorsque la convergence absolue n'est pas suffisante, on réalise souvent une transformation d'Abel (voir cet exercice). Pour cela, on écrit le terme général comme un produit $u_nv_n$ (ici, $u_n=\cos(n\theta)$ par exemple et $v_n=\frac1{n})$ et on introduit la somme $s_n=\sum_{k=1}^n u_k$. On écrit ensuite que $u_k=s_k-s_{k-1}$ et on introduit la transformation suivante : $$\sum_{k=1}^n u_kv_k=\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k-1})v_k=s_n v_n+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k-1}).$$ Le plus souvent, on peut conclure car on sait que $(s_k)$ est une suite bornée (dans le cas trigonométrique, on sait calculer cette somme) et que $v_k-v_{k-1}$ est petit (par exemple, si $v_k=\frac 1k$, $v_k-v_{k-1}\sim\frac 1{k^2}$.
Lorsqu'on souhaite encadrer des sommes partielles ou des restes de séries numériques, diverses techniques sont à notre disposition :
- Dans le cas de séries du type $\sum_n f(n)$, où $f$ est une fonction monotone, on peut utiliser un encadrement de $f(n)$ par $\int_n^{n+1}f(t)dt$ et $\int_{n-1}^n f(t)dt$, sommer les intégrales par la relation de Chasles, et calculer l'intégrale correspondante (voir cet exercice ou cet exercice).
- Pour majorer un reste $\sum_{n\geq p}u_n$, lorsque $u_n\geq 0$, on peut trouver une suite $(v_n)$ de sorte que $u_n\leq v_n$ et on sait majorer le reste $\sum_{n\geq p}v_n$ (voir cet exercice).
- Le critère des séries alternées fournit également un encadrement de la somme par deux sommes partielles consécutives, et une majoration de la valeur absolue du reste (voir cet exercice).
- pour avoir un équivalent du reste, on peut penser au théorème de sommation des relations de comparaison (voir cet exercice).
Pour calculer la somme d'une série $\sum_n u_n$, on peut
- écrire la suite $(u_n)$ sous une forme "télescopique", $u_n=v_n-v_{n-1}$. Quand on va calculer la somme partielle, les termes différents termes de la suite $(v_n)$ se simplifient (voir cet exercice).
- utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices... (voir cet exercice).
- pour calculer des sommes proches des sommes géométriques $\sum_k x^k$, par exemple $\sum_k kx^k$ ou $\sum_k\frac{1}{k+1}x^k$, on peut se ramener à une somme finie, utiliser la somme de la suite géométrique, et dériver, intégrer, multiplier par $x$… (voir cet exercice).