Méthodes : Séries entières, séries de Fourier

Calculer le rayon de convergence d'une série entière

Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on peut

utiliser la règle de d'Alembert (uniquement pour des exemples concrets); si la série entière est de la forme $\sum_n a_n z^{pn}$, on pose $u_{n}=a_n z^{pn}$ et on étudie la limite de $|u_{n+1}/u_n|$. La série va converger si cette limite est inférieure stricte à 1, diverger si la limite est supérieure stricte à 1 (voir cet exercice).
trouver un encadrement ou un équivalent du terme général (voir cet exercice) et revenir à la définition du rayon de convergence : si $(a_n z^n)$ est bornée si et seulement si $|z|<R,$ alors $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum_n a_n z^n.$

Démontrer qu'une fonction est développable en série entière

Pour démontrer qu'une fonction est développable en série entière, on peut

pour les exemples pratiques, utiliser les développements en série entière usuels et les règles de sommation et de produits (voir cet exercice);
pour les exercices théoriques, utiliser une formule de Taylor (voir cet exercice).

Déterminer un développement en série entière

Pour déterminer le développement en série entière d'une fonction, on peut

utiliser les développements en série entière usuels, et les opérations de somme, de produit, de dérivation (voir cet exercice);
pour une fraction rationnelle, on la décompose d'abord en éléments simples et on développe chaque terme (voir cet exercice);
pour une fonction définie par une intégrale ou une série, on développe souvent la fonction à l'intérieur de l'intégrale ou de la série en série entière, puis on applique un théorème d'inversion (voir cet exercice);
former une équation différentielle vérifiée par la fonction; on cherche ensuite les fonctions solutions de cette équation différentielle qui sont développables en série entière, et on conclut par unicité au problème de Cauchy (voir cet exercice);
dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor.

Déterminer la somme d'une série entière

Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. Pour cela, on peut utiliser plusieurs astuces :

Pour une série entière du type $\sum_n \frac{P(n)}{n!}z^n$, on exprime $P(X)$ dans la base $X,X(X-1),X(X-1)(X-2),\dots$ afin de se ramener à la série de l'exponentielle (voir cet exercice).
Pour une série entière du type $\sum_n F(n)z^n$ où $F$ est une fraction rationnelle, on décompose $F$ en éléments simples (voir cet exercice);
S'il y a des multiplies de $n$ ou de $1/(n+1)$ par rapport aux séries classiques, penser à intégrer ou à dériver (voir cet exercice).

Résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières

Pour résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières,

on commence par supposer qu'il existe une solution $S(x)=\sum_n a_n x^n$ développable en série entière;
on introduit cette solution dans l'équation, en dérivant terme à terme pour exprimer $S'(x),\dots$;
par des changements d'indice, on se ramène à une écriture du type $\sum_n b_n x^n=0$, où la suite $(b_n)$ s'écrit en fonction de la suite $(a_n)$;
par unicité des coefficients d'une série entière, on sait que $b_n=0$;
cela doit permettre de trouver la suite $(a_n)$ en fonction éventuellement de certains paramètres;
réciproquement, on vérifie que la série entière $\sum_n a_n x^n$ a un rayon de convergence non nul et qu'elle est solution de l'équation différentielle.

(voir cet exercice)

Démontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^\infty$ en utilisant les séries entières

Pour démontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0$, il suffit de démontrer qu'elle est développable en série entière en $0$ (voir cet exercice).

Calculer le terme général d'une suite récurrente à l'aide d'une série entière

Pour calculer le terme général d'une suite $(a_n)$ vérifiant une relation de récurrence, on peut introduire la série génératrice associée $$S(x)=\sum_n a_n x^n$$ ou encore parfois la série entière $$T(x)=\sum_n \frac{a_n}{n!}x^n.$$ A l'aide de la formule de récurrence définissant $(a_n)$, on essaie de trouver une formule algébrique faisant intervenir $S$ et éventuellement ses dérivées ($T$ si on travaille avec la deuxième série génératrice). À l'aide de cette formule, on essaie de trouver la valeur de $S$, puis d'en déduire $a_n$ (voir cet exercice ou cet exercice).

Calculer les coefficients de Fourier d'une fonction

Pour calculer les coefficients de Fourier d'une fonction, on utilise le plus souvent la formule les définissant. On peut calculer l'intégrale sur tout intervalle de longueur $2\pi$ (on choisit celui qui est le plus commode), et on utilise parfois les symétries de la fonction pour réduire l'intervalle d'intégration. De plus,

si la fonction est impaire, alors tous les $a_n(f)$ sont nuls;
si la fonction est paire, tous les $b_n(f)$ sont nuls.

Calculer des sommes à l'aide d'une série de Fourier

Pour calculer la valeur de la somme d'une série à l'aide de la série de Fourier de la fonction $f$, on peut

utiliser le théorème de Dirichlet et exprimer les sommes partielles de la série en fonction de $S_n(f)(a)$, où $a$ est un réel bien choisi;
utiliser le théorème de Féjer si c'est plus naturellement les carrés qui interviennent

(voir cet exercice)

Utiliser la régularité d'une fonction dans les séries de Fourier

Lorsqu'on veut utiliser des informations sur la régularité d'une fonction lors de l'étude des coefficients de Fourier, on relie souvent les coefficients de Fourier de $f$ et ceux de sa dérivée en utilisant une intégration par parties (voir cet exercice).