Méthodes : polynômes et fractions rationnelles
Pour trouver le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$, on peut :
- écrire le résultat de la division euclidienne $A=BQ+R$, en écrivant formellement $R=\sum_{n=0}^p a_nX^n$;
- Évaluer l'équation $A=BQ+R$ en les racines de $B$;
- On trouve alors un système linéaire vérifié par les coefficients de $R$;
- Si $B$ est scindé, il y a autant d'équations que d'inconnues et on résout le système;
- Sinon, on dérive l'équation $A=BQ+R$, et on évalue l'équation aux racines doubles de $B$;
- Et ainsi de suite si B admet des racines d'ordre 3,4,…
(voir cet exercice, celui-ci ou celui-là).
Pour démontrer que $B$ divise $A$, on peut
- Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ et démontrer que le reste est nul (voir cet exercice).
- Si $B$ est scindé, vérifier que toute racine $x$ de $B$ de multiplicité $m$ est racine de $A$ de multiplicité $m'\geq m$, par exemple en vérifiant que $A(a)=A'(a)=\dots=A^{(m-1)}(a)=0$ (voir cet exercice).
Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on trouve des racines $b_1,\dots,b_q$ de $P$ en cherchant des racines évidentes, en utilisant les résultats que l'on connait sur les nombres complexes (résolution des équations de degré 2, recherche de racines $n$-ièmes) ou en suivant les indications de l'énoncé. On peut alors factoriser $P$ en $$P(X)=(X-b_1)\cdots (X-b_p)Q(X)$$ et on recommence avec $Q$ (voir cet exercice).
Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).
Pour démontrer des propriétés sur les racines d'un polynôme, ou utiliser des propriétés connues sur les racines d'un polynôme, on utilise très souvent les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme (voir cet exercice, celui-ci ou celui-là).
Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,
- on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
- on calcule la partie entière de la fraction rationnelle en calculant le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$;
- on factorise le polynôme $Q$ en produit de polynômes irréductibles;
- on écrit a priori la décomposition en éléments simples;
- pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le coefficient devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient s'obtient en multipliant $\displaystyle \frac{P(X)}{Q(X)}$ par $(X-a)^m$ et en évaluant en $X=a$;
- en particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
- pour déterminer les autres coefficients, on peut évaluer en un point, multiplier par $X$ et regarder la limite en $+\infty,$ mettre au même dénominateur et identifier...
- si on réalise la décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ et qu'il y a un polynôme de degré $2$ dans la factorisation de $Q$ en produits d'irréductibles, on peut réaliser la décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ puis regrouper les parties polaires correspondant aux pôles conjugués.