Méthodes : fonctions d'une variable réelle

Démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$

Pour démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut :

démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice);
trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui convergent toutes les deux vers $a$ et telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice);
si $f$ est définie en $a$, trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.

Démontrer qu'une fonction peut se prolonger par continuité en $a$

Pour démontrer qu'une fonction définie sur $I\backslash\{a\}$ peut se prolonger par continuité en $a$, on démontre que $\lim_{x\to a}f(x)$ existe. On prolonge alors $f$ par continuité en posant $f(a)=\lim_a f.$ (voir cet exercice).

Démontrer qu'on ne peut pas prolonger par continuité $f$ en $a$

Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction $f$ en un point $a,$ on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice). On peut aussi prouver que les limites à droite et à gauche de $f$ en $a$ ne coïncident pas (voir cet exercice).

Démontrer qu'une fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$

Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement

vérifier que $f$ est continue
vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$

(voir cet exercice):

Démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a$

Pour démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a,$

on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.

Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=a$

Pour déterminer le nombre de solutions de l'équations $f(x)=a$

on étudie la fonction $f$ pour décomposer son domaine de définitions en une réunions d'intervalles $I_1,\dots,I_p$ tels que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$; on étudie aussi les limites aux bornes de $f$ sur chacun de ces intervalles;
on compte le nombre d'intervalles $I_1,\dots,I_p$ tels que $a\in f(I_j)$; il faut faire attention au cas où $a$ est la valeur prise par $f$ à l'une des bornes d'un des intervalles $I_j$

(voir cet exercice).

Démontrer l'existence d'une solution à $f(x)=g(x)$

Pour démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=g(x),$ ou pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=g(x),$ on peut appliquer une des méthodes précédentes à la fonction $h(x)=f(x)-g(x)$ (voir cet exercice):

Démontrer que $f$ admet un point fixe

Pour démontrer que $f$ admet (au moins) un point fixe, on applique les techniques précédentes, et notamment l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires, à la fonction $g(x)=f(x)-x$ (voir cet exercice):

Résoudre une équation fonctionnelle

Pour résoudre une équation fonctionnelle (c'est-à-dire une équation dont l'inconnue est une fonction) dans l'ensemble des fonctions continues, on procède par analyse/synthèse. On commence par considérer une fonction $f$ vérifiant les propriétés requises, et on trouve des conditions nécessaires vérifiées par $f$. On peut par exemple :

trouver la valeur de $f(x)$ lorsque $x$ est un rationnel. Dans ce cas, on détermine la valeur de $f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$ par continuité de $f$ et par densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ (voir cet exercice);
exprimer $f(x)$ en fonction d'une quantité $a_n$ et de $f(x_n)$, où $(a_n)$ et $(x_n)$ sont deux suites convergentes. On détermine alors la valeur de $f(x)$ en passant à la limite et en utilisant la continuité de $f$ (voir cet exercice).

Une fois que l'on a déterminé la forme de $f$, il faut encore vérifier que toutes les fonctions $f$ qui sont définies ainsi conviennent.

Démontrer qu'une fonction est bornée sur $\mathbb R$

Pour démontrer qu'une fonction est bornée sur $\mathbb R$, ou plus généralement sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, on peut

vérifier que $f$ est continue
démontrer que $f$ admet des limites finies en $+\infty$ et en $-\infty$
en déduire, par la définition d'une limite finie, qu'il existe $M>0$ et $A>0$ tel que, si $|x|\geq A,$ on a $|f(x)|\leq M$
conclure en utilisant le fait que $f$, qui est continue, est aussi bornée sur le segment $[-A,A]$

(voir cet exercice ou cet exercice).

Démontrer qu'une fonction $f$ est dérivable en $a$

on peut utiliser la définition avec le taux d'accroissement (voir cet exercice);
si la fonction est définie par morceaux, calculer la dérivée à droite et la dérivée à gauche, et comparer si elles sont égales (voir cet exercice);
on peut appliquer le théorème de prolongement d'une dérivée (voir cet exercice ou celui-ci).

Démontrer des formules faisant intervenir la dérivée d'ordre $n$ d'une fonction

il s'agit souvent d'appliquer le théorème de Rolle à la bonne fonction (voir cet exercice).

Calculer la dérivée $n$-ième d'une fonction

on peut appliquer la formule de Leibniz (voir cet exercice).
on peut calculer les premières dérivées, conjecturer le résultat et procéder par récurrence (voir cet exercice).

Étudier des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$

Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

on peut démontrer que $|f'|\leq k<1$ sur $I=[a,b]$.
on démontre ensuite que $f$ admet un point fixe $\gamma$ dans $[a,b]$ à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g(x)=f(x)-x$.
on utilise l'inégalité des accroissements finis pour démontrer par récurrence sur $n$ que $$|u_n-\gamma|\leq k^n |u_0-\gamma|.$$

(voir cet exercice).

Obtenir des inégalités

L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple, si on applique l'égalité des accroissements finis entre $a$ et $b$, on peut souvent contrôler la différence $f(a)-f(b)$ si on connait des informations sur la dérivée $f'$ sur $[a,b]$ (voir cet exercice).

Démontrer qu'une fonction est convexe

Pour démontrer qu'une fonction $f:I\to\mathbb R$ est convexe, on peut

si $f$ est deux fois dérivable, vérifier que sa dérivée seconde est positive (voir cet exercice).
dans des exercices plus théoriques, revenir simplement à la définition d'une fonction convexe (voir cet exercice ou celui-ci).

Etudier des propriétés de fonctions convexes

Pour démontrer certaines propriétés vérifiées par des fonctions convexes (comportement à l'infini, extrema,...), l'inégalité des pentes ou la position de la courbe représentative d'une fonction convexe par rapport à ses sécantes sont très souvent très utiles! (voir cet exercice).

Démontrer une inégalité faisant intervenir une fonction $f$ et une fonction affine

Pour démontrer une inégalité entre une fonction $f$ et une fonction affine, on étudie souvent la convexité de $f$. Puis on utilise la position relative de la courbe représentative d'une fonction convexe et de ses tangentes, ou de la courbe représentative d'une fonction convexe et de ses sécantes (voir cet exercice).

Démontrer une inégalité faisant intervenir une somme de $n$ valeurs

Pour démontrer une inégalité faisant intervenir une somme de $n$ termes, avec $n\geq 2$, il faut essayer de reconnaître une application de l'inégalité de Jensen (voir cet exercice).