$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : équations différentielles

Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1

Si on veut résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre $1,$ $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, alors

  • on commence par chercher les solutions de l'équation homogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$. Soit $A$ une primitive de la fonction $a$. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$, $\lambda$ une constante réelle ou complexe. En particulier, si $a$ est une fonction constante, les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-ax}$.
  • on cherche alors une solution particulière de l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$,
    • soit en cherchant une solution évidente (voir cet exercice);
    • soit, si $a$ est une constante, en cherchant une solution du même type que $b$ (un polynôme si $b$ est un polynôme,...) (voir cet exercice);
    • soit en utilisant la méthode de variation de la constante : on cherche une solution sous la forme $y(x)=\lambda(x)y_0(x)$, où $y_0$ est une solution de l'équation homogène. On a alors $$y'(x)=\lambda'(x)y_0(x)+\lambda(x)y_0'(x)$$ et donc $$y'(x)+a(x)y(x)=\lambda(x)(y_0'(x)+a(x)y_0(x))+\lambda'(x)y_0(x).$$ Tenant compte de $y_0'+ay_0=0$, $y$ est solution de l'équation $y'+ay=b$ si et seulement si $$\lambda'(x)y_0(x)=b(x).$$ On doit alors trouver une primitive de $b(x)/y_0(x)$ pour trouver une solution particulière (voir cet exercice).
    • si le second membre s'écrit sous la forme $b(x)=b_1(x)+b_2(x)$, on peut aussi utiliser le principe de superposition des solutions : on cherche une solution $y_1$ à l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b_1(x)$ et une solution $y_2$ à l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b_2(x)$. Alors $y_1+y_2$ est une solution à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ (voir cet exercice).
  • les solutions de l'équation $y'+ay=b$ s'écrivent comme la somme de cette solution particulière et des solutions de l'équation homogène.
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, $y''(x)+ay'(x)+by(x)=f(x)$, alors on commence par rechercher les solutions de l'équation homogène : $y''+ay'+by=0$. Pour cela, on introduit l'équation caractéristique $$r^2+ar+b=0.$$ La résolution de l'équation homogène dépend alors de si l'on se place sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$ :

  • Résolution de l'équation homogène, cas complexe :
    • si l'équation caractéristique admet deux racines $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
    • si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
  • Résolution de l'équation homogène, cas réel :
    • si l'équation caractéristique admet deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
    • si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
    • si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, $\alpha\pm i\beta$, alors les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\mu e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$

On cherche ensuite une solution particulière :

  • si $f$ est un polynôme, on cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme (voir cet exercice).
  • si $f(x)=A\exp(\lambda x)$, on cherche une solution particulière sous la forme
    • $B\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ n'est pas racine de l'équation caractéristique;
    • $Bx\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ est racine simple de l'équation caractéristique;
    • $Bx^2\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ est racine double de l'équation caractéristique.
  • si $f(x)=B\cos(\omega x)$, on cherche une solution sous la forme $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ sauf si l'équation homogène est $y''+\omega^2 y=0$. Dans ce cas, on cherche une solution sous la forme $y(x)=ax\sin(\omega x)$.
  • si $f(x)=B\sin(\omega x)$, on cherche une solution sous la forme $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ sauf si l'équation homogène est $y''+\omega^2 y=0$. Dans ce cas, on cherche une solution sous la forme $y(x)=ax\cos(\omega x)$.
  • remarquons que le cas où le second membre est de la forme $\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$ peut aussi être traitée en utilisant $\cos(\omega x)=\Re e(e^{i\omega x})$, en procédant comme décrit ci-dessous pour $e^{\lambda x}$ avec $\lambda=i\omega$, et en prenant la partie réelle de la solution particulière trouvée. Cette méthode fonctionne aussi si le second membre est de la forme $e^{ax} \cos(bx)$ (voir cet exercice).
  • Plus généralement, si $f(x)=P(x)\exp(\lambda x)$, avec $P$ un polynôme, on cherche une solution sous la forme $Q(x)\exp(\lambda x)$ (voir cet exercice).

Enfin, les solutions de l'équation $y''+ay'+by=f$ s'écrivent comme la somme de cette solution particulière et des solutions de l'équation homogène.

Problème du raccordement des solutions

Soit à résoudre l'équation différentielle $a(x)y'(x)+b(x)y(x)=c(x)$ avec $a,b,c:\mathbb R\to \mathbb R$ continues. On suppose que $a$ s'annule seulement en $x_0$. Pour résoudre l'équation différentielle sur $\mathbb R$,

  • on commence par résoudre l'équation sur $]-\infty,x_0[$ et sur $]x_0,+\infty[$, là où $a$ ne s'annule pas ;
  • on écrit qu'une solution définie sur $\mathbb R$ est une solution sur $]-\infty,x_0[$ et aussi sur $]x_0,+\infty[$. On écrit ces restrictions en utilisant le point précédent. Ces solutions font intervenir des constantes qui sont a priori différentes ;
  • on étudie si les restrictions à $]-\infty,x_0[$ et à $]x_0,+\infty[$ admettent une limite (finie) commune en $x_0$. On peut ainsi prolonger la fonction à $\mathbb R$ tout entier. Éventuellement, ceci impose des contraintes sur les constantes ;
  • on étudie si les dérivées des restrictions à $]-\infty,x_0[$ et à $]x_0,+\infty[$ admettent une limite (finie) commune en $x_0$. La fonction prolongée est ainsi dérivable en $x_0$. Éventuellement, ceci impose d'autres contraintes sur les constantes ;
  • on vérifie qu'on a bien obtenu une solution.
(voir cet exercice).
Résolution des systèmes homogènes à coefficients constants

Pour résoudre une équation différentielle linéaire homogène à coefficient constants $X'=AX$,

  • si $A$ est diagonalisable, de vecteurs propres $X_1,\dots,X_n$ associés aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, une base de l'ensemble des solutions est $(e^{\lambda_1t}X_1,\dots,e^{\lambda_n t}X_n)$ (voir cet exercice) ;
  • si $\mathbb K=\mathbb R$ et $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ mais pas sur $\mathbb R$, on résout d'abord sur $\mathbb C$ puis on en déduit une base de solutions à valeurs réelles grâce aux parties réelles et imaginaires des solutions complexes ; par exemple, si $A\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ et non sur $\mathbb R$, elle admet une valeur propre réelle $\lambda$, de vecteur propre associé $V$ et deux valeurs propres complexes conjuguées $\mu$ et $\bar \mu,$ de vecteurs propres respectifs associés $W$ et $\bar W$. Alors une base de l'ensemble des solutions est $\big(e^{\lambda t}V,\Re e(e^{\mu t}W),\Im m (e^{\mu t}W)\big)$ (voir cet exercice) ;
  • si $A$ est seulement trigonalisable :
    • on trigonalise $A$ sous la forme $A=PTP^{-1}$ ;
    • en posant $Y=P^{-1} X,$ on obtient que $Y$ est solution du système différentiel $Y'=TY$ ; ce système différentiel est triangulaire et on peut le résoudre ligne par ligne, du bas vers le haut ;
    • on obtient alors les solutions recherchées à l'aide de la relation $Y=PX$.
    Soulignons que cette méthode ne nécessite pas de calculer $P^{-1}$ (voir cet exercice) ;
  • on peut aussi calculer l'exponentielle de $A$. Le calcul est plus facile si on connait un polynôme annulateur de $A$ voir cet exercice).
Recherche d'une solution particulière avec la méthode de variation des constantes
  Pour chercher une solution particulière au système différentiel $$X'(t)=A(t)X(t)+B(t)$$ par la méthode de variation des constantes,
  • on cherche un système fondamental de solutions $(X_1,\dots,X_n)$;
  • on cherche une solution particulière sous la forme $X(t)=\sum_{i=1}^n C_i(t)X_i(t)$; $X$ est solution du système si et seulement si $$\sum_{i=1}^n C_i'(t)X_i(t)=B(t).$$
  • le système précédent est inversible, on peut déterminer chaque $C_i'$;
  • en intégrant, on retrouve $C_i$.
Résolution d'une équation du second degré par la méthode d'abaissement de l'ordre
  Soit à résoudre sur un intervalle $I$ une équation différentielle du second ordre $$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0,$$ dont on connait une solution particulière $x_p(t)$ qui ne s'annule pas sur $I$. On pose $y(t)=x(t)/x_p(t)$. Alors la fonction $y'$ est solution d'une équation différentielle du premier ordre. On peut résoudre cette équation différentielle, pour déterminer $y'$, puis $y$ (voir cet exercice).
Résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières

Pour résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières,

  • on commence par supposer qu'il existe une solution $S(x)=\sum_n a_n x^n$ développable en série entière;
  • on introduit cette solution dans l'équation, en dérivant terme à terme pour exprimer $S'(x),\dots$;
  • par des changements d'indice, on se ramène à une écriture du type $\sum_n b_n x^n=0$, où la suite $(b_n)$ s'écrit en fonction de la suite $(a_n)$;
  • par unicité des coefficients d'une série entière, on sait que $b_n=0$;
  • cela doit permettre de trouver la suite $(a_n)$ en fonction éventuellement de certains paramètres;
  • réciproquement, on vérifie que la série entière $\sum_n a_n x^n$ a un rayon de convergence non nul et qu'elle est solution de l'équation différentielle.
(voir cet exercice)