$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Espaces métriques, espaces vectoriels normés

Trouver une norme qui donne un contre-exemple

Lorsqu'on cherche un exemple de norme ne vérifiant pas une certaine propriété (ou qui montre qu'une certaine propriété ne peut pas être améliorée), on peut souvent utiliser la norme infinie $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb R^2$ ou sur $\mathbb R^n$. Elle possède certaines propriétés extrémales qui en font une bonne source de contre-exemples (voir cet exercice).

Comment démontrer qu'une application est une norme?

Pour démontrer que $N$ est une norme, on peut :

  • vérifier la définition d'une norme. Deux points peuvent poser plus particulièrement problème :
    • la vérification de l'inégalité triangulaire, notamment dans le cas où la norme est définie par un sup. Il faut alors rédiger cette vérifications très soigneusement en s'inspirant de ce qui est fait dans le cours pour la norme infinie.
    • le fait que $N(x)=0$ si et seulement si $x=0$. Il faut parfois utiliser des propriétés de continuité, ou le nombre de racines d'un polynôme pour prouver ceci (voir cet exercice).
  • démontrer que $N$ est la norme issue d'un produit scalaire. Ceci est particulièrement approprié si la norme fait apparaitre des carrés. Dans ce cas, on retrouve le produit scalaire dont est issue la norme en appliquant la formule de polarisation (voir cet exercice).
  • vérifier que $N$ est la restriction à un sous-espace d'une norme bien connue.
Comment comparer deux normes? Comment démontrer que deux normes ne sont pas équivalentes?

Pour démontrer que $N_1$ et $N_2$ ne sont pas deux normes équivalentes, le plus souvent on cherche une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ telle que $$\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to 0\textrm{ ou }\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to +\infty.$$ Pour la suite $(x_n)$, penser à des exemples assez simples (polynômes qui prennent des degrés de plus en plus haut si on travaille sur $\mathbb R[X]$, $x^n$ si on travaille avec des fonctions continues, fonctions en escalier, fonctions triangles…) (voir cet exercice).

Démontrer qu'un ensemble est fermé

Pour démontrer qu'une partie $A$ de $E$ est fermée, on peut

  • démontrer que son complémentaire est ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : démontrer que pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$, alors $\ell\in A$;
  • démontrer que $A$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue;
  • démontrer que $A$ s'écrit comme un produit cartésien $A=X\times Y,$ où $X$ et $Y$ sont deux fermés.
(voir voir cet exercice, cet exercice ou cet exercice pour étudier des applications de ces différentes méthodes).
Démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé

Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas fermé, on peut

  • démontrer que son complémentaire n'est pas ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : trouver une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$ de sorte que $\ell\notin A$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'un ensemble n'est pas ouvert

Pour démontrer qu'une partie $A$ de $E$ n'est pas ouvert, on peut

  • démontrer que son complémentaire n'est pas fermé;
  • trouver un élément $x\in A$ et une suite $(x_n)$ qui converge vers $x$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $x_n\notin A$ (voir cet exercice).
Démontrer que l'intérieur d'un ensemble est vide

Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble $A$ est vide, on peut, pour tout $x\in A$, trouver une suite $(x_n)$ dans le complémentaire de $A$ qui tend vers $x$ (voir cet exercice).

Déterminer l'adhérence d'un ensemble

Pour démontrer que $x$ est dans l'adhérence de $A$, on peut

  • démontrer que, pour tout $r>0$, $B(x,r)$ intersecte $A$;
  • déterminer une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $x$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite en $a$

Pour démontrer que $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut

  • trouver une suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ et telle que $(f(x_n))$ ne converge pas.
  • trouver deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ qui convergent vers $a$ et telles que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ admettent des limites différentes
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une application linéaire est continue

Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ est continue, on cherche une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on ait $\|u(x)\|\leq C\|x\|$ (voir cet exercice).

Démontrer qu'une application linéaire n'est pas continue

Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ n'est pas continue, on peut chercher une suite $(x_n)$ de $E$ avec $\|x_n\|=1$ et $\|u(x_n)\|\to+\infty$ (voir cet exercice).

Calculer la norme subordonnée d'une application linéaire continue

Pour calculer la norme d'une application linéaire continue $u:(E,\|\cdot\|)\to (F,\|\cdot\|)$, on procède ainsi :

  • on cherche, à l'aide des techniques de majoration usuelles, une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on a $\|u(x)\|\leq C\|x\|$. Ceci prouve que $\|u\|_{\textrm{op}}\leq C$.
  • Pour prouver que $\|u\|_{\textrm{op}}\geq C,$ on peut :
    • chercher un élément $x\in E$ pour lequel $\|u(x)\|=C\|x\|$;
    • parfois, notamment en dimension infinie, il est impossible de trouver un tel élément. On cherche alors une suite $(x_n)$ telle que $\frac{\|u(x_n)\|}{\|x_n\|}$ converge vers $C$;

(voir cet exercice).