$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : espaces compacts, espaces complets, espaces connexes, espaces vectoriels normés de dimension finie

Démontrer qu'un ensemble est compact

Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est compacte, on peut

  • démontrer que $A$ est fermé et borné lorsque $E$ est de dimension finie (voir cet exercice).
  • démontrer que toute suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ admet une suite extraite convergente. Dans ce cas, on est parfois amené à réaliser des extractions successives (voir cet exercice).
  • démontrer que $A$ est une partie fermée d'un espace compact (voir cet exercice).
  • démontrer que $A$ est l'image d'un compact par une application continue (voir cet exercice).
Démontrer qu'un ensemble n'est pas compact

Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ n'est pas compacte, on peut

  • démontrer que $A$ n'est pas fermé ou n'est pas borné (voir cet exercice).
  • construire une suite de $A$ qui n'admet pas de suite extraite convergente dans $A$ (voir cet exercice).
Passer d'une inégalité stricte à une inégalité large plus forte

Pour passer d'une inégalité du type $f(x)>0$ pour tout $x\in K$ à $f(x)\geq \delta$ avec $\delta>0$ pour tout $x\in K$, on utilise souvent le fait qu'une application continue sur un compact à valeurs dans $\mathbb R$ atteint ses bornes (voir cet exercice).

Démontrer qu'une partie est connexe par arcs

Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs, on peut

  • démontrer qu'elle est convexe ou étoilée (voir cet exercice).
  • construire explicitement un chemin continu tracé dans $A$ pour tous $x,y\in A$ (voir cet exercice);
  • démontrer que c'est l'image d'un connexe par arcs par une application continue.
Démontrer qu'une partie est connexe par arcs

Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs, on peut

  • démontrer qu'elle est convexe ou étoilée (voir cet exercice).
  • construire explicitement un chemin continu tracé dans $A$ pour tous $x,y\in A$ (voir cet exercice);
  • démontrer que c'est l'image d'un connexe par arcs par une application continue.
Démontrer qu'il n'existe pas de bijections bicontinues entre $A$ et $B$

Pour démontrer qu'il n'existe pas de bijections $f:A\to B$ telle que $f$ et $f^{-1}$ soient continues, on peut

  • démontrer que $A$ est compact, mais pas $B$;
  • démontrer que $A$ est connexe par arcs, mais pas $B$; parfois, on retire un ou plusieurs points à ces ensembles (voir cet exercice).
Démontrer qu'un espace est un espace de Banach
  Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé $E$ est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante :
  • on considère une suite $(x_n)$ de Cauchy de $E$.
  • on fabrique une limite possible de la suite $(x_n)$, que l'on notera $x$. Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet. Par exemple, si $(x_n)$ est une suite de fonctions, on peut utiliser la complétude de $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ pour fabriquer la limite de $(x_n(t))$.
  • on démontre que $x$ est élément de $E$.
  • on démontre que $(x_n)$ converge effectivement vers $x$.
(voir cet exercice).
Démontrer qu'un espace vectoriel normé n'est pas un espace de Banach
  Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé $E$ n'est un espace de Banach, ou qu'un espace métrique n'est pas complet, on peut construire une suite $(x_n)$ de Cauchy de $E$ et démontrer qu'elle n'est pas convergente. Par exemple, on peut montrer que si elle converge vers $\ell$, alors cette limite vérifie certaines propriétés qui font qu'elle n'appartient par à $E$ (voir cet exercice).
Démontrer certaines propriétés dans un espace vectoriel normé de dimension finie
  Pour démontrer des inégalités dans un espace vectoriel normé, on peut
  • démontrer que ces inégalités sont vraies pour une certaine norme, puis, par équivalence des normes dans $E$, les déduire pour une autre norme (voir cet exercice)
  • utiliser le fait que toute application linéaire est continue.