Méthodes : Calcul différentiel
Pour démontrer qu'une fonction $f:\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}\to\mathbb R$ n'admet pas de limite en $(0,0)$, on peut utiliser une des conditions nécessaires suivantes : si $f$ admet pour limite $\ell$ en $(0,0)$, alors
- $f(t,0)$ tend vers $\ell$ lorsque $t$ tend vers $0$ ;
- $f(0,t)$ tend vers $\ell$ lorsque $t$ tend vers $0$ ;
- pour tout $\lambda\in\mathbb R,$ $f(t,\lambda t)$ tend vers $\ell$ lorsque $t$ tend vers $0$ ;
- si $u:]0,+\infty[\to \mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ est telle que $u(t)\to (0,0)$ lorsque $t$ tend vers $0,$ alors $f(u(t))$ tend vers $\ell.$
Il suffit donc qu'une des limites précédentes n'existe pas ou que deux des limites précédentes sont différentes pour prouver que $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.
Pour démontrer que $f$ admet une limite en $(0,0)$, on commence par deviner la limite $\ell$, par exemple en étudiant les limites de $f(t,0)$ ou de $f(0,t)$. On majore ensuite $|f(x,y)-\ell|$ par une quantité $\veps(x,y)$ qui tend vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. Pour cela on utilise :
- toutes les techniques classiques de majoration ;
- les inégalités classiques sur les fonctions d'une variable réelle : $$|\sin(x)|\leq 1\textrm{ ou }|\sin(x)|\leq |x|,\ \ln(1+x)\leq x\textrm{ pour }x>-1,\dots$$
- certaines techniques spécifiques aux fonctions de deux variables : par exemple, $\displaystyle |x|\leq \sqrt{x^2+y^2}$ ou plus généralement $$|x|\leq (x^p+y^q)^{1/p}\textrm{ pour }x,y>0.$$
(Voir cet exercice ou cet exercice).
Pour démontrer qu'une fonction est différentiable en $a$, on peut
- utiliser le fait que la somme, le produit ou la composée d'applications différentiables est différentiable.
- démontrer que $f$ est de classe $C^1$ (voir cet exercice).
- obtenir explicitement un développement limité à l'ordre $1$ (voir cet exercice)
- deviner la forme de la différentielle en utilisant les dérivées partielles, puis revenir à la définition (voir cet exercice).
- démontrer que $f$ n'est pas continue en $a$ (voir cet exercice) ou que $f$ n'admet pas certaines dérivées partielles en $a$ ;
- si $f$ est continue en $a$ et si toutes les dérivées partielles de $f$ existent en $a,$ alors on peut procéder par l'absurde : supposer que $f$ est différentiable en $a$. On peut alors calculer la différentielle $\ell$ de $f$ en $a$ à l'aide des dérivées partielles. On essaie alors de prouver que $$\frac{f(a+h)-f(a)-\ell(h)}{\|h\|}$$ ne tend pas vers $0$ lorsque $h$ tend vers $0$ (voir cet exercice).
Pour résoudre une équation aux dérivées partielles linéaires (c'est-à-dire une équation faisant intervenir les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ d'une fonction $f$ de classe $C^1$), on se ramène par un changement de variables à une équation du du type $$\frac{\partial f}{\partial x}=h,$$ où $h$ est une fonction continue. Les solutions de cette équations sont les fonctions du type $$f(x,y)=H(x,y)+C(y)$$ où, pour tout $y,$ $x\mapsto H(x,y)$ est une primitive de $x\mapsto h(x,y)$ et $C$ est une fonction (d'une seule variable). Suivant la primitive choisie, il faudra bien prendre garde à ce que l'on obtienne bien une fonction de classe $C^1$.
Par exemple, pour une équation aux dérivées partielles linéaires du type $$a\frac{\partial f}{\partial x}+b\frac{\partial f}{\partial y}=0,$$ on peut
- effectuer un changement de variables linéaires $u=\alpha x+\beta y$, $v=\alpha' x+\beta' y$, de sorte de se ramener, en posant $F(u,v)=f(x,y)$, à une équation du type $$\frac{\partial F}{\partial u}=0.$$
- résoudre cette équation : ces solutions s'écrivent $F(u,v)=H(v)$ pour une fonction $H$ de classe $C^1$.
- revenir à la fonction de départ.
(voir cet exercice).
La plupart du temps, l'énoncé donnera le changement de variables à utiliser.
Pour déterminer les extrema locaux d'une fonction $f:\mathcal U\to \mathbb R$ qui est de classe $\mathcal C^2$ sur l'ouvert $\mathcal U\subset\mathbb R^n,$ on
- commence par rechercher les points critiques en résolvant le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)&=&0\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)&=&0. \end{array} \right. $$ Rappelons qu'un extremum local d'une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un ouvert $\mathcal U$ est nécessairement atteint en un point critique.
- on étudie la nature de ces points critiques.
Soit $a$ un point critique. On calcule la matrice hessienne $H_f(a)$ de $f$ en $a.$ Si elle est définie positive
(ou encore si toutes les valeurs propres de $H_f(a)$ sont strictement positives),
alors $f$ admet un minimum local en $a,$ et si elle est définie négative (ou encore si toutes les valeurs propres
de $a$ sont strictement négatives), alors $f$ admet un maximum local en $a.$
Lorsque $n=2,$ ceci peut encore se déterminer à l'aide du déterminant et de la trace de $H_f(a)$ :
- si $\det(H_f(a))>0$ et $\textrm{Tr}(H_f(a))> 0,$ alors $f$ admet un minimum local en $a.$
- si $\det(H_f(a))>0$ et $\textrm{Tr}(H_f(a))<0,$ alors $f$ admet un maximum local en $a.$
- si $\det(H_f(a))<0,$ alors $f$ n'admet ni maximum local, ni minimum local en $a$ (on dit que $a$ est un point selle).
- si $\det(H_f(a))=0,$ on ne peut pas conclure
(voir cet exercice en dimension $2$ ou cet exercice en dimension $3$).
Lorsque $H_f(a)$ est définie positive, c'est bien un
minimum local en $a,$ attention à la confusion :
Pour déterminer le minimum ou le maximum d'une fonction sur un compact $K$,
- on commence par dire qu'une fonction continue sur un compact admet un minimum et un maximum, pour en justifier l'existence ;
- le minimum est atteint ou bien sur la frontière du compact, ou bien en un point intérieur ;
- s'il est atteint en un point intérieur, alors ce point est un point critique. On cherche donc les points critiques à l'intérieur du compact, et on cherche la valeur de la fonction en ces points ;
- on étudie la fonction sur le bord du compact, souvent en le découpant en morceaux et en le paramétrant ;
- on compare les minima trouvés à chacune des étapes précédentes
(voir cet exercice ou cet exercice).