Agrégation interne : suites numériques

Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$

1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
3. En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
4. Écrire une fonction $\verb+approx(ecart)+$ sous Python qui renvoie un encadrement de $e$ avec une amplitude inférieure à ecart.

On considère la suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x^2+\frac{3}{16}$ et $u_0\geq 0$.

1. Étudier $f$ et le signe de $f(x)-x$. Quelles sont les limites possible de $(u_n)$?
2. On suppose $u_0\in[0,1/4]$. Montrer que $u_n\in[0,1/4]$ pour tout $n$, puis que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
3. On suppose $u_0\in[1/4;3/4]$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
4. On suppose $u_0>3/4$. Montrer que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?

Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.

1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
2. Soit $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
3. Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
4. En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
5. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs. On définit :

• leur moyenne arithmétique, notée $m$, par la relation $m=\frac{x+y}{2}$;
• leur moyenne géométrique, notée $g$, par la relation $g=\sqrt{xy}$;
• leur moyenne harmonique, notée $h$, par la relation $\frac 1h=\frac12\left(\frac 1x+\frac 1y\right)$.

1. Montrer que $h\leq g\leq m$ et vérifier que $\sqrt{mh}=g$.
2. On définit deux suites $u$ et $v$ par récurrence par la donnée de $u_0$ et $v_0$, avec $0<v_0\leq u_0$, et par les relations de récurrence suivante :
   • $u_{n+1}$ est la moyenne arithmétique de $u_n$ et $v_n$;
   • $v_{n+1}$ est la moyenne harmonique de $u_n$ et $v_n$.
   1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $0<v_n\leq u_n$.
   2. Montrer que la suite $u$ est décroissante et que la suite $v$ est croissante.
   3. Montrer que les deux suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite notée $l$.
   4. Montrer que $l$ est la moyenne géométrique de $u_0$ et $v_0$.

Soit $(u_n)$ une suite à termes réels strictement positifs telle que $\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ converge vers un réel $l$. Nécessairement, on a $l\geq 0$.

1. On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$.
   1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
   2. En déduire que $(u_n)$ converge vers 0.
2. On suppose $l>1$. Démontrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
3. Étudier le cas $l=1$.

Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.

1. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite convergente. Que dire de $(u_n)$?
2. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite majorée. Que dire de $(u_n)$?
3. On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle. On pose $S_n=\frac{u_1+\dots+u_n}{n}$.

1. On suppose que $(u_n)$ converge vers 0. Soient $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N^*$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq\veps$.
   1. Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que, pour $n\geq n_0$, on a $$|S_n|\leq \frac{M(n_0-1)}{n}+\veps.$$
   2. En déduire que $(S_n)$ converge vers 0.
2. On suppose que $u_n=(-1)^n$. Que dire de $(S_n)$? Qu'en déduisez-vous?
3. On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Montrer que $(S_n)$ converge vers $l$.
4. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que $(S_n)$ tend vers $+\infty$.

Soit $(u_n)$ une suite bornée de nombre réels. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$x_n=\inf\{u_p;\ p\geq n\}\textrm{ et }y_n=\sup\{u_p;\ p\geq n\}.$$

1. Pourquoi les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont-elles bien définies?
2. Déterminer les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ dans les cas suivants : $$\mathbf a.\ u_n=(-1)^n\quad \mathbf b.\ u_n=1-\frac1{n+1}.$$
3. Démontrer que $(x_n)$ est croissante, que $(y_n)$ est décroissante. En déduire que ces deux suites sont convergentes. On notera $\alpha=\lim_{n\to+\infty} x_n$ et $\beta=\lim_{n\to+\infty}y_n$.
4. Démontrer que $\alpha\leq \beta$.
5. Démontrer que si $\alpha=\beta$, alors la suite $(u_n)$ converge.
6. Démontrer que si $(u_n)$ admet une sous-suite convergeant vers un réel $\ell$, alors $\alpha\leq \ell\leq \beta$.
7. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $n\in\mathbb N$, il existe $p\geq n$ tel que $$y_n-\veps\leq u_p\leq y_n.$$
8. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $p_0\in\mathbb N$, il existe $p\geq p_0$ tel que $$\beta-2\veps\leq u_p\leq \beta+2\veps.$$
9. En déduire qu'il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui converge vers $\beta$.
10. Quel théorème vient-on de redémontrer?

1. Démontrer pour tout entier $n\geq 1$ l'existence d'une unique solution réelle positive ou nulle de l'équation $$x^n+x^{n-1}+\dots+x-1=0.$$ Cette solution est notée $u_n$. Démontrer que l'on a $0\leq u_n\leq 1$.
2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
3. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, on a $$u_n^{n+1}-2u_n+1=0.$$
4. Démontrer que la suite $(u_n)$ tend vers $1/2$.
5. Écrire un algorithme qui, pour un entier $p\geq 1$ donné, permet de déterminer le plus petit entier $s$ pour lequel on a $$0<u_s-\frac 12\leq 10^{-p}.$$ On pourra utiliser les fonctions $g_n$ définies par $$g_n(x)=(x-1)\left(x^n+\dots+x-1\right).$$
6. Pour $n\geq 1$, on pose $\veps_n=u_n-\frac 12$. Démontrer que $(n\veps_n)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
7. Déduire de la question précédente et de la question 3. le développement asymptotique suivant de $u_n$ : $$u_n=\frac 12+\frac{1}{4\cdot 2^n}+o\left(\frac 1{2^n}\right).$$