Agrégation interne : fonctions d'une variable réelle
Pour réviser
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que,
$$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
- Déterminer $f(0)$.
- Démontrer que $f$ est impaire.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
- Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
Enoncé
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :
- L'image par une fonction continue d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
- L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé.
- L'image par une fonction continue d'une partie bornée est une partie bornée.
- L'image réciproque par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.
Enoncé
Que dire d'une fonction $f:I\to\mathbb R$, où $I$ est un intervalle, continue,
et ne prenant qu'un nombre fini de valeurs?
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0,1]$.
On suppose que $f(0)=0$ et que $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0,1]$.
Montrer qu'il existe $m>0$ tel que $f(x)\geq mx$ pour tout $x\in [0,1]$.
Enoncé
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\textrm{ si }x\leq 0\\
e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0.
\end{array}
\right.$$
- Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
- Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Enoncé
Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-a)^n (x-b)^n$
($a,b$ sont des réels). En étudiant le cas $a=b$, trouver la valeur de $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Pour progresser
Exercice 8 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\textrm{si }x=0\\
\sin\left(\frac 1x\right)&\textrm{sinon.}
\end{array}
\right.$$
- Démontrer que la fonction $f$ n'est pas continue en 0.
- On souhaite prouver que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire que pour tous réels $a<b$, et pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in]a,b[$ tel que
$y=f(c)$.
- Traiter le cas $a>0$.
- Si $a=0$, justifier l'existence de $d\in ]a,b[$ tel que $f(d)=f(0)$. Conclure.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Enoncé
On appelle polynômes de Legendre les polynômes $P_n(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$.
- Calculer le degré de $P_n$ et son coefficient dominant.
- Pour $0\leq p\leq n$, on pose $Q_p(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(p)}$. Quel est le degré de $Q_p$? Démontrer que $Q_p$ admet deux racines d'ordre $n-p$, et $p$ racines d'ordre 1.
- En déduire que $P_n$ s'annule exactement en $n$ points deux à deux distincts de $]-1,1[$.
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
- Pourquoi n'est-ce pas trivial?
- Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
- En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
- Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
- En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
- Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ si $x\in ]0,1]$ et par $f(0)=0.$ Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Enoncé
- Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$$ Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\exp(1)$.
- On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1-\frac12+\frac13+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$ Montrer que cette suite converge vers $\ln(2)$.
Exercice 13 - Inégalités de Hölder et de Minkowski [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y\in\mtr_+^*$, $p,q\in[1,+\infty[$ tels que $1/p+1/q=1$, et $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $2n$ réels strictement positifs.
- Montrer que $$xy\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q.$$
- On suppose dans cette question que $\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^q=1.$ Montrer que $\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq 1$.
- En déduire la splendide inégalité de Hölder : $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{1/q}.$$
- On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski : $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}.$$
- On définit pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}.$$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$.