Agrégation interne : équations différentielles

Résoudre les équations différentielles suivantes :

$7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
$y'+2y=x^2-2x+3$;
$y'+y=xe^{-x}$;
$y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;

On résout d'abord l'équation sans second membre $7y'+2y=0$. La solution générale est de la forme $y(x)=Ke^{-2x/7}$. On cherche ensuite une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 3. Si $P(X)=aX^3+bX^2+cX+d$, alors $P$ est une solution de l'équation si et seulement si $$7(3ax^2+2bx+c)+2(ax^3+bx^2+cx+d)=2x^3-5x^2+4x-1\textrm{ pour tout }x\in\mathbb R$$ soit $$2ax^3+(21a+2b)x^2+(14b+2c)x+(7c+2d)=2x^3-5x^2+4x-1\textrm{ pour tout }x\in\mathbb R.$$ Par identification, on trouve que $a,b,c$ et $d$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2a&=&2\\ 21a+2b&=&-5\\ 14b+2c&=&4\\ 7c+2d&=&-1 \end{array}\right.$$ On résout ce système et on trouve qu'une solution particulière est donné par $x^3-13x^2+93x-326$. L'ensemble des solutions de l'équation est donnée par les fonctions $$x\mapsto x^3-13x^2+93x-326+Ke^{-2x/7}\textrm{ avec }K\in\mathbb R.$$
On résout l'équation sans second membre $y'+2y=0$ dont la solution générale est $\lambda e^{-2x}$. On cherche ensuite une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 2, $y(x)=ax^2+bx+c$. On a alors $$y'(x)+2y(x)=2ax^2+(2a+2b)x+(b+2c)$$ et donc $y$ est solution de l'équation différentielle avec second membre si et seulement si $(a,b,c)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2a&=&1\\ 2a+2b&=&-2\\ b+2c&=&3 \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} a&=&1/2\\ b&=&-3/2\\ c&=&9/4 \end{array}\right.$$ On trouve donc qu'une solution particulière est donnée par $\frac{x^2}{2}-\frac 32x+\frac 94$. Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{-2x}+\frac{x^2}{2}-\frac 32x+\frac 94,\ \lambda\in\mathbb R.$$
On résout d'abord l'équation sans second membre $y'+y=0$ qui donne $y(x)=K e^{-x}$ avec $K\in\mathbb R$. On cherche ensuite une solution de l'équation complète sous la forme $y(x)=P(x)e^{-x}$, avec $P$ un polynôme. Puisque dans ce cas $y'(x)=P'(x)e^{-x}-P(x)e^{-x}$, on trouve que $y$ est solution de l'équation si et seulement si, pour tout $x\in\mathbb R$, $$P'(x)e^{-x}-P(x)e^{-x}+P(x)e^{-x}=xe^{-x},$$ c'est-à-dire si et seulement si, pour tout $x\in\mathbb R$, $$P'(x)e^{-x}=xe^{-x}\iff P'(x)=x.$$ Le polynôme $P(x)=x^2/2$ convient, et une solution particulière de l'équation complète est donc $\frac{x^2}{2}e^{-x}$. Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $$x\mapsto \left(\frac{1}{2}x^2+K\right)e^{-x},\ \textrm{avec }K\in\mathbb R.$$
La solution générale de l'équation sans second membre est $y(x)=Ke^{2x}$, $K\in\mathbb R$. Il y a ensuite plusieurs méthodes pour rechercher une solution particulière. Par exemple, on peut chercher une solution particulière de l'équation $y'-2y=\cos x$. Pour cela, on écrit que $\cos x=\Re e(e^{ix})$ et on cherche une solution de $y'-2y=e^{ix}$. Puisque $e^{ix}$ n'est pas solution de l'équation sans second membre, on cherche une solution particulière sous la forme $y(x)=\alpha e^{ix}$. Cette fonction est solution de $y'-2y=e^{ix}$ si et seulement si $$i\alpha e^{ix}-2\alpha e^{ix}=e^{ix}$$ ie si et seulement si $$\alpha=\frac{1}{-2+i}=\frac{-2-i}{(-2+i)(-2-i)}=-\frac{2+i}{5}.$$ Une solution particulière de $y'-2y=\cos x$ est donc donnée par $$\Re e\left(-\frac{2+i}{5}e^{ix}\right)=-\frac25\cos x+\frac15\sin x.$$ On cherche ensuite une solution particulière de $y'-2y=2\sin x$ en utilisant exactement la même méthode, mais en remarquant que cette fois $\sin x=\Im m(e^{ix})$. Une solution particulière est donc donnée par $$2\Im m\left(-\frac{2+i}{5}e^{ix}\right)=-\frac45\sin x-\frac25\cos x.$$ Par le principe de superposition des solutions, on trouve finalement que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle est donnée par les fonctions $$x\mapsto Ke^{2x}-\frac 45\cos x-\frac 35\sin x,\ \textrm{avec }K\in\mathbb R.$$

Exercice 2

- Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.

1. Il est clair que $\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$, indépendamment de la valeur de $C$, et que $\lim_{x\to 0^-}f(x)=\pm\infty$ si $D\neq 0$, et $\lim_{x\to 0^-}f(x)=0$ si $D=0$. Ainsi, on a un prolongement continu en $0$ si et seulement si $D=0$. Dans ce cas, on a $f(0)=0$.
2. On suppose donc que $D=0$. La fonction $f$ étant identiquement nulle à gauche de 0, elle est dérivable à gauche en 0 et sa dérivée est nulle. Pour $x>0$, on a $$\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{C}x\exp(-1/x).$$ Posons $u=\frac 1x$. Lorsque $x$ tend vers $0^+$, $u$ tend vers $+\infty$ et $$\frac{1}x\exp(-1/x)=u\exp(-u).$$ Par comparaison des fonctions polynomes et exponentielle, on en déduit que $\frac{f(x)-f(0)}x$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $0^+$, et donc $f'$ est dérivable à droite en 0, de dérivée nulle. Ainsi, on a bien que $f$ est dérivable en 0, avec $f'(0)=0$. La continuité à gauche de $f'$ en 0 ne pose alors pas de problèmes. En ce qui concerne la dérivée à droite, on remarque que, pour $x>0$, on a $$f'(x)=\frac C{x^2}\exp(-1/x)=Cu^2\exp(-u)$$ toujours avec le même changement de variables. Comme précédemment, on en tire que $\lim_{x\to 0^+}f'(x)=0$, et donc que $f'$ est continue en 0.
Sur l'intervalle $]0,+\infty[$, la fonction $x^2$ ne s'annule pas et l'équation est équivalente à $$y'=\frac1{x^2}y.$$ Les solutions de cette équation sont les fonctions $y(x)=C\exp(-1/x)$, où $C\in \mathbb R$. La résolution sur l'intervalle $]-\infty,0[$ donne exactement le même ensemble de solutions.
Soit $y$ une solution sur $\mathbb R$. Sa restriction à $]0,+\infty[$ est solution sur $]0,+\infty[$, et donc il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x>0$, $y(x)=C\exp(-1/x)$. La restriction de $y$ à $]-\infty,0[$ est aussi solution sur $]-\infty,0[$, et donc il existe une constante $D\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x<0$, $y(x)=D\exp(-1/x)$. Remarquons ici que $C$ et $D$ n'ont aucune raison d'être égaux. En effet, les résolutions sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ se font totalement indépendamment.
D'ailleurs, le résultat des premières questions entraîne que, pour que $y$ soit continue en $0$, il est nécessaire que $D=0$. Dans ce cas, la fonction $y$ est de classe $C^1$, et elle vérifie bien l'équation différentielle : c'est clair pour $x\neq 0$, et c'est aussi vrai en 0 par continuité de $y$ et $y'$ en 0.

Exercice 3

- Abaissement de l'ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère l'équation différentielle notée $(E)$ : $$(t^2+t)x''+(t-1)x'-x=0.$$

Déterminer les solutions polynômiales de $(E)$.
En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $]1,+\infty[$.
Reprendre le même exercice avec $$t^2x''-3tx'+4x=t^3$$ dont on déterminera les solutions sur $]0,+\infty[$. On cherchera d'abord les solutions polynômiales de l'équation homogène!

Exercice 4

- Raccordement de solutions - dimensions possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

$a$ et $b$ étant deux fonctions continues sur $\mathbb R$, on considère $(E)$ l'équation différentielle $$x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0.$$ On note $S^+$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $I=]0,+\infty[$ et $S^-$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $J=]-\infty,0[$, et on note $S$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$ tout entier. L'objectif de l'exercice est d'étudier les valeurs possibles pour la dimension de $S$.

Rappeler la dimension de $S^+$ et de $S^-$.
On note $\varphi$ l'application linéaire de $S$ vers $S^+\times S^-$ définie par $\varphi(f)=(f_{|I},f_{|J})$. Donner le noyau de $\varphi$. En déduire que $\dim S\leq 4$.
Dans cette question, on suppose que $a(x)=x$ et que $b(x)=0$, d'où $(E)$ est l'équation $x^2y''+xy'=0$. Déterminer $S^+$ et $S^-$. En déduire ensuite $S$ et sa dimension.
Dans cette question, $(E)$ est l'équation $x^2y''-6xy'+12y=0$. Déterminer deux solutions sur $I$ de la forme $x\mapsto x^\alpha$ ($\alpha$ réel). En déduire $S^+$ puis $S^-$. En déduire $S$ et sa dimension.
En s'inspirant de la question précédente, donner un exemple d'équation différentielle du type $x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0$ tel que $\dim S=0$.

La fonction $x\mapsto x^2$ ne s'annulant pas sur $I$ (resp. sur $J$), on a affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre. $S^+$ et $S^-$ sont alors deux espaces vectoriels de dimension 2.
Si $\varphi(f)=0$, alors $f$ est identiquement nulle sur $I$ et sur $J$. Par continuité de $f$, elle est aussi nulle en $0$ et donc identiquement nulle sur $\mathbb R$. Ainsi, le noyau de $\varphi$ est réduit à $\{0\}$. L'application est donc injective. Comme la dimension de l'espace d'arrivée est $\dim(S^+)\times \dim(S^-)=4$, la dimension de l'espace de départ est nécessairement inférieure ou égale à $4$.
On pose $z=y'$ et on se ramène à résoudre l'équation $xz'+z=0$ sur $I$ et sur $J$. La résolution est la même, les solutions sont les fonctions de la forme $x\mapsto \frac Cx$, $C\in\mathbb R$. Par intégration, on trouve que $S^+=\textrm{vect}\left(x\mapsto 1,x\mapsto \ln|x|\right)$. C'est la même description pour $S^-$. Ainsi, si $y$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$, elle est solution sur $I$ donc il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x>0$, $$y(x)=a\ln |x|+b.$$ De même, elle est solution sur $J$ et il existe $c,d\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x<0$, $$y(x)=c\ln |x|+d.$$ La fonction admettant une limite en zéro, il est nécessaire que $a=c=0$ et que $b=d$. Finalement, $S$ est constitué des fonctions constantes et est donc de dimension 1.
$x\mapsto x^\alpha$ est solution de $(E)$ si et seulement si $\alpha(\alpha-1)-6\alpha+12=0$. Les solutions sont $\alpha=3$ et $\alpha=4$. Comme les fonction $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto x^4$ sont indépendantes et que l'on sait que $\dim(S^+)=\dim(S^-)=2$, alors on peut conclure que $$S^+=\textrm{vect}\left(x\mapsto x^3,x\mapsto {x^4}\right).$$ La même description vaut pour $S^-$. Maintenant, si $y$ est élément de $S$, en raisonnant comme auparavant, il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x>0$, $$y(x)=ax^3+bx^4.$$ De même, il existe $c,d\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x<0$, $$y(x)=cx^3+dx^4.$$ Mais alors, pour toutes valeurs de $a,b,c,d$, la fonction définie ci-dessus et prolongée par continuité en posant $y(0)=0$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R$. On en déduit que $\dim(S)=4$.
L'idée est de trouver une équation différentielle admettant deux solutions du type $x\mapsto x^\alpha$ avec deux valeurs de $\alpha$ négatives, par exemple $\alpha=-1$ et $\alpha=-2$. Si $x\mapsto x^\alpha$ est solution de $x^2+axy'+by$, alors on a $$\alpha(\alpha-1)+a\alpha+b=0.$$ Nous, si nous voulons que $\alpha=-1$ et $\alpha=-2$ soient solutions, nous sommes ramenés à l'équation $$(\alpha+1)(\alpha+2)=0\iff \alpha^2+3\alpha+2=0\iff \alpha(\alpha-1)+4\alpha+2=0.$$ On considère alors l'équation $x^2y''+4xy'+2=0$. On a $$S^+=\textrm{vect}\left(x\mapsto \frac 1x,x\mapsto \frac1{x^2}\right)$$ et on en déduit que $S=\{0\}$ et donc que $\dim(S)=0$.

Exercice 5

- Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère l'équation différentielle $$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$ dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.

Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\ c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. $$ A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$?
On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence.
Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.

Il faut étudier quelles conditions il faut mettre sur $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que ceci définisse une solution de classe $C^2$ sur $\mathbb R$. La continuité de $y$ en $0$ entraîne que $a=c$ puisque $$a=\lim_{x\to 0^+}y(x)\textrm{ et }c=\lim_{x\to 0^-}y(x).$$ De plus, on a $$y'(x)=-2ax\sin(x^2)+2bx\cos(x^2)\textrm{ si }x>0.$$ $$y''(x)=-2a\sin(x^2)-4ax^2\cos(x^2)+2b\cos(x^2)-4bx^2\sin(x^2)\textrm{ si }x>0.$$ De même, on a $$y''(x)=-2a\sin(x^2)-4ax^2\cos(x^2)+2d\cos(x^2)-4dx^2\sin(x^2)\textrm{ si }x<0.$$ Remarquons que $$2b=\lim_{x\to 0^+}y''(x)\textrm{ et }2d=\lim_{x\to 0^-}y''(x).$$ Pour que $y''$ soit continue en 0, il est nécessaire que $b=d$. Réciproquement la fonction $x\mapsto a\cos(x^2)+b\sin(x^2)$ définit bien une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$.
Soit $y(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière solution de $(E)$ de rayon de convergence $R>0$. On introduit ce développement en série entière dans $(E)$. Après dérivation terme à terme de la série, et réindexation des séries, on obtient : $$xy''-y'+4x^3y=-a_1+3a_3x^2+\sum_{n=3}^{+\infty}\big(a_{n+1}(n-1)(n+1)+4a_{n-3}\big)x^n=0$$ pour tout $x\in]-R,R[$. L'unicité du développement en série entière entraîne que $a_1=a_3=0$, tandis que, pour tout $n\geq 3$, $$a_{n+1}=-\frac{4}{(n-1)(n+1)}a_{n-3}.$$ En réindexant, on trouve, pour tout $n\geq 0$, $$a_{n+4}=-\frac{4}{(n+2)(n+4)}a_n.$$
D'après la relation de récurrence précédente, et puisque $a_1$ et $a_3$ sont nuls, on trouve que $a_{4p+1}=0$ et $a_{4p+3}=0$ pour tout $p\geq 0$.
La relation de récurrence nous dit que $$a_{4p}=-\frac{4}{(4p)(4p-2)}a_{4(p-1)}=\frac{-1}{2p(2p-1)}.$$ On prouve alors aisément par récurrence que $$a_{4p}=\frac{(-1)^p}{(2p)!}a_0.$$ De même, on obtient $$a_{4p+2}=\frac{(-1)^p}{(2p+1)!}a_2.$$
En appliquant la règle de d'Alembert, ou en remarquant que $\frac{R^p}{(2p)!}$ tend vers 0 lorsque $p$ tend vers l'infini, pour tout $R\in\mathbb R$, on obtient que la série entière obtenue a pour rayon de convergence $+\infty$. De plus, on a \begin{eqnarray*} y(x)&=&a_0\sum_{p\geq 0}\frac{(-1)^p}{(2p)!}x^{4p}+a_2\sum_{p\geq 0}\frac{(-1)^p}{(2p+1)!}x^{4p+2}\\ &=&a_0\cos(x^2)+a_2\sin(x^2). \end{eqnarray*}
Puisque la série entière obtenue a pour rayon de convergence $+\infty$, sa somme est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$. De plus, sur chaque intervalle ne contenant pas $0$, on sait que l'ensemble des solutions de $(E)$ est un espace vectoriel de dimension 2. Il est donc nécessairement engendré par $\cos(x^2)$ et $\sin(x^2)$. Considérons maintenant une solution $y$ de $(E)$ sur $\mathbb R$. Elle est solution sur $]0,+\infty[$, et donc il existe deux constantes $a_0$ et $a_2$ telles que $$y(x)=a_0\cos(x^2)+a_2\sin(x^2)\textrm{ pour }x>0.$$ Elle est solution sur $]-\infty,0[$ et donc il existe deux constantes $b_0$ et $b_2$ telles que $$y(x)=b_0\cos(x^2)+b_2\sin(x^2)\textrm{ pour }x<0.$$ D'après la question préliminaire, $y$ va se prolonger en une fonction de classe $C^2$ si et seulement si $a_0=b_0$ et $a_2=b_2$. Ainsi, l'ensemble des solutions sur $\mathbb R$ de l'équation est l'espace vectoriel de dimension 2 engendré par les fonctions $x\mapsto a\cos(x^2)+b\sin(x^2)$, $a,b\in\mathbb R$.

Exercice 6

- Transformée de Fourier de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On pose, pour $a>0$, $F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}e^{-at^2}dt$.

Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F'(x)=\frac{-x}{2a}F(x).$$
En déduire que pour tout $x$ réel, $F(x)=F(0)e^{-x^2/4a}$, puis que $$F(x)=\sqrt\frac\pi ae^{-x^2/4a}.$$

On rappelle que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt \pi$.

Exercice 7

- Sur les zéros des solutions d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On dit qu'un réel $a$ est un \emph{zéro isolé} de $f$ si $f(a)=0$ et s'il n'existe pas de suite $(a_n)$ de zéros distincts de $f$ telle que $(a_n)$ converge vers $a$.

Donner un exemple de fonction continue dont 0 est un zéro non-isolé.
On suppose que $f$ est dérivable, et que $a$ est un zéro de $f$ non-isolé. Prouver que $f'(a)=0$.
On suppose toujours que $f$ est dérivable et que les zéros de $f$ sont isolés. Soient $a$ et $b$ deux zéros consécutifs de $f$. Démontrer que $f'(a)$ et $f'(b)$ ont des signes opposés.
Dans la suite de l'exercice, on fixe $p,q:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues, et on considère l'équation différentielle $(E)$ : $$y''+p(t)y'+q(t)y=0.$$
Soit $f$ une solution non-nulle de $(E)$. En utilisant 2., prouver que les zéros de $f$ sont isolés.
Soient $f$ et $g$ deux solutions de $(E)$ et $t_0,C\in\mathbb R$ tels que $g(t_0)=Cf(t_0)$ et $g'(t_0)=Cf'(t_0)$. Prouver que $g=Cf$.
On suppose désormais que $(f,g)$ est une base de solutions de $(E)$. On appelle \emph{wronskien} de $f$ et $g$ la fonction $W$ définie sur $\mathbb R$ par $$W(t)=\left|\begin{array}{cc}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{array}\right|.$$ Déduire de la question précédente que $W$ ne s'annule jamais.
Former une équation différentielle du premier ordre vérifiée par $W$ et en déduire l'expression de $W(t)$ en fonction de $W(t_0)$.
Soient $a,b$ deux zéros consécutifs de $f$. Que vaut $W(a)$, $W(b)$? En utilisant les questions précédentes, en déduire que $g$ s'annule sur $[a,b]$.

La fonction $x\mapsto x\sin(1/x)$ si $x\neq 0$ et $0\mapsto 0$ est un tel exemple (vérifier qu'elle est continue et que la suite $(1/2n\pi)_n$ est une suite de zéros distincts qui converge vers zéro)!
Soit $(a_n)$ une suite de zéros de $f$ tous distincts, et donc distincts de $a$, qui converge vers $a$. Alors le taux d'accroissement $$\frac{f(a_n)-f(a)}{a_n-a}=0$$ est nul, et le membre de gauche tend vers $f'(a)$.
Puisque $f$ ne s'annule pas dans l'intervalle $[a,b]$, elle y garde un signe constant. On peut supposer par exemple que $f\geq 0$ sur $[a,b]$. Mais alors, il est facile de voir que nécessairement $f'(a)\geq 0$. En effet, pour $x\in ]a,b]$, on a $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0$$ et il suffit de faire tendre $x$ vers $a$ pour en déduire le résultat annoncé. De même, on a $f'(b)\leq 0$, ce qui est le résultat voulu.
Supposons que $t_0$ soit un zéro non-isolé de $f$. Alors on a $f(t_0)=f'(t_0)=0$. Or, d'après la théorie sur les équations différentielles linéaires, on sait qu'il existe une seule solution de $(E)$ vérifiant $f(t_0)=f'(t_0)=0$. La fonction nulle est solution de $(E)$ et vérifie ces deux conditions. On en déduit que $f$ est identiquement nulle, une contradiction.
C'est le même type de raisonnement. En effet, on écrit qu'il existe une seule solution $y$ de $(E)$ vérifiant $y(t_0)=Cf(t_0)$ et $y'(t_0)=Cf'(t_0)$. Or, $g$ et $Cf$ sont deux solutions de $(E)$ vérifiant cette contrainte. C'est donc que $g=Cf$.
Si $W$ s'annule en un point $t_0$, par définition du déterminant, c'est que les vecteurs $(f(t_0),f'(t_0))$ et $(g(t_0),g'(t_0))$ sont colinéaires. Par exemple, on peut supposer qu'il existe $C\in\mathbb R$ tel que $g(t_0)=Cf(t_0)$ et $g'(t_0)=f'(t_0)$. Mais alors, $g=Cf$ ce qui contredit que $(f,g)$ forme une base de l'ensemble des solutions.
Par définition, on sait que, pour tout réel $t$, $$W(t)=f(t)g'(t)-f'(t)g(t).$$ On dérive alors cette équation. Utilisant le fait que $f$ et $g$ sont solutions de l'équation différentielle, et remplaçant $f''$ et $g''$ par respectivement $-p(t)f'(t)-q(t)f$ et $-p(t)g'(t)-q(t)g(t)$, on trouve : $$W'(t)=-p(t)W(t).$$ On intègre alors cette équation différentielle, et on trouve que $$W(t)=W(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^t p(u)du\right).$$
On a $W(a)=-f'(a)g(a)$ et $W(b)=-f'(b)g(b)$. Puisque $W$ est une fonction continue qui ne s'annule pas, elle garde un signe constant. De plus, on sait que $f'(a)$ et $f'(b)$ ont des signes opposés. Il en est donc de même de $g(a)$ et de $g(b)$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g$, qui est bien une fonction continue, s'annule sur $[a,b]$.

Exercice 8

- Solutions périodiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux applications continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ périodiques de période 1. A quelle(s) condition(s) l'équation différentielle $y'=a(x)y+b(x)$ admet-elle des solutions 1-périodiques. Les déterminer.

Exercice 9

- Avec l'exponentielle de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $A$ la matrice $$\left( \begin{array}{ccc} 2&0&1\\ 1&-1&-1\\ -1&2&2 \end{array} \right).$$

Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
En déduire la valeur de $\exp(tA)$.
Résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&2x_1(t)+x_3(t)\\ x_2'(t)&=&x_1(t)-x_2(t)-x_3(t)\\ x_3'(t)&=&-x_1(t)+2x_2(t)+2x_3(t) \end{array}\right. $$

Exercice 10

- Entonnoirs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ une fonction continue, localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. On appelle

\emph{barrière inférieure} une fonction $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\alpha'(t)< f(t,\alpha(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$.
\emph{barrière supérieure} une fonction $\beta:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\beta'(t)> f(t,\beta(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$.

Si $\alpha<\beta$, on appelle \emph{entonnoir} l'ensemble $\{(t,x);\ \alpha(t)\leq x\leq \beta(t)\}$.

Soit $(]a,b[,u)$ une solution de l'équation différentielle $x'=f(t,x)$ vérifiant $u(t_0)=x_0$ où le point $(t_0,x_0)$ est dans l'entonnoir. Montrer que pour tout $t\in[t_0,b[$, le point $(t,u(t))$ est dans l'entonnoir.
En déduire que si $(]a,b[,u)$ est une solution maximale, alors $b=+\infty$.
On considère l'équation différentielle $x'=x^2-t$, et $u$ la solution maximale vérifiant $u(4)=-2$. Montrer que $u$ est définie au moins sur $[4,+\infty[$ et qu'elle est équivalente à la fonction $t\mapsto -\sqrt t$ au voisinage de $+\infty$.

Exercice 11

- Avec un sinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère l'équation différentielle $x'(t)=x(t)\sin^2(x(t))$.

Quelles sont les fonctions constantes solution de cette équation?
Soit $x$ une solution maximale vérifiant $x(0)=x_0$. Montrer que $x$ est bornée, monotone.
Démontrer que $x$ est définie sur $\mathbb R$ tout entier,
Montrer que $x$ admet des limites en $\pm\infty$. Les déterminer.