Résumé de cours : Suites et séries de fonction

Convergence simple, convergence uniforme

Soit $A$ une partie de $\mathbb R$; soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb R$ et $f:A\to \mathbb R$.

On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $A$ si : $$\forall \veps>0,\ \forall x\in A,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \veps.$$

On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si : $$\forall \veps>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall x\in A,\ \forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \veps.$$

La convergence simple traduit que pour chaque $x\in A$, la suite de réels $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$. La convergence uniforme impose en plus que la convergence se fait toujours à la même vitesse. Si toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont bornées, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si et seulement si $(\|f_n-f\|_{A,\infty})$ tend vers $0$, où $$\|g\|_{\infty,A}=\sup\{|g(x)|;\ x\in A\}.$$

Explication de la différence entre convergence simple et convergence uniforme :

Propriétés conservées

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. La convergence simple préserve les propriétés liées à l'ordre : par exemple, si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ et si toutes les $f_n$ sont croissantes, alors $f$ est croissante, si toutes les $f_n$ sont convexes, alors $f$ est convexe. En revanche, les propriétés de régularité ne sont pas conservées par la convergence simple.

Continuité : On suppose que toutes les $f_n$ sont continues en $a\in I$ et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $f$ est continue en $a$.

En particulier, si toutes les $f_n$ sont continues sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

Permutation limite/intégrale : On suppose que $I=[a,b]$ est un segment, que toutes les fonctions $f_n$ sont continues et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)dt=\int_a^b \lim_n f_n(t)dt=\int_a^b f(t)dt.$$

Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal C^1$ et qu'il existe $g:I\to\mathbb R$ vérifiant

$(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$.
La suite de fonctions $(f'_n)$ converge uniformément vers $g$ sur tout segment contenu dans $I$.

Alors la fonction $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et $f'=g$.

Caractère $\mathcal C^k$ : On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal C^k$ et qu'il existe des fonctions $g_j:I\to\mathbb R$, $0\leq j\leq k$ telles que

pour tout $j=0,\dots,k-1$, $(f_n^{(j)})$ converge simplement vers $g_j$ sur $I$;
$(f_n^{(k)})$ converge uniformément vers $g_k$ sur tous les segments contenus dans $I$.

Alors $g_0$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $I$ et pour tout $j\leq k$, $g_0^{(j)}=g_j$.

Théorème d'interversion des limites : On suppose que $I=[a,b[$ et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en $b$. Alors la suite $(\ell_n)$ converge vers une limite $\ell$, $f$ admet une limite en $b$ et $\lim_{x\to b}f(x)=\ell$.

Ce théorème est souvent appliqué avec $b=+\infty$.

Séries de fonctions

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ et $S:I\to\mathbb R.$

On dit que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge simplement vers $S$ sur $I$ si la suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ converge simplement vers $S$ sur $I.$

On dit que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$ si la suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ converge uniformément vers $S$ sur $I.$

Si la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}u_n$ converge simplement sur $I$, pour $n\in\mathbb N,$ on introduit son reste d'ordre $n$ défini sur $I$ par $R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(x).$ Dire que la série $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément sur $I$ revient à dire que la suite des restes $(R_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $I$.

On dit que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge normalement sur $I$ si chaque fonction $u_n$ est bornée sur $I$ et si la série numérique $\sum_{n\geq 0} \|u_n\|_{\infty,I}$ est convergente.

Théorème : Si $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$, alors elle converge uniformément.

Les théorèmes relatifs aux suites de fonctions restent vrais dans ce nouveau cadre. Ils ont désormais les énoncés suivants :

Continuité : On suppose que toutes les $u_n$ sont continues en $a\in I$ et que $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. Alors $S$ est continue en $a$.

En particulier, si toutes les $u_n$ sont continues sur $I$, alors $S$ est continue sur $I$.

Permutation somme/intégrale : On suppose que $I=[a,b]$ est un segment, que toutes les fonctions $u_n$ sont continues et que $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $[a,b].$ Alors la série $\sum_{n\geq 0} \int_a^b u_n(t)dt$ converge et on a $$\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_a^b u_n(t)dt.$$

Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal C^1$ et que

$\sum_{n\geq 0} u_n$ converge simplement sur $I$.
$\sum_{n\geq 0} u_n'$ converge uniformément sur tout segment contenu dans $I$.

Alors la fonction $S:x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$ est de classe $\mathcal C^1$ et $S'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n'(x)$.

Caractère $\mathcal C^k$ : On suppose que toutes les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal C^k$ et que

pour tout $j=0,\dots,k-1$, $\sum_{n\geq 0} u_n^{(j)}$ converge simplement sur $I$;
$\sum_{n\geq 0} u_n^{(k)}$ converge uniformément sur tous les segments contenus dans $I$.

Alors la fonction $S:x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$ est de classe $\mathcal C^k$ et pour tout $j=0,\dots,k$, $S^{(j)}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^{(j)}(x)$.

Théorème d'interversion des limites : On suppose que $I=[a,b[$ et que $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $b$. Alors la série $\sum_{n\geq 0} \ell_n$ converge, $S$ admet une limite en $b$ et $$\lim_{x\to b}S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\ell_n.$$

Autrement dit, sous les hypothèses précédentes, $$\lim_{x\to b}\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\lim_{x\to b}u_n(x).$$

Critères de Cauchy uniforme

Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ et $(u_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb R$.

Théorème : La suite de fonctions $(u_n)$ converge uniformément sur $A$ si et seulement si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ \|u_p-u_q\|_{\infty,A}\leq \veps.$$
Corollaire: La série de fonctions $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $A$ si et seulement si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall q\geq p\geq N,\ \left\|\sum_{n=p}^q u_n\right\|_{\infty,A}\leq \veps.$$

Extension aux espaces vectoriels normés

Certains des résultats précédents restent vrais si on définit maintenant nos fonctions sur une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$, et si elles sont à valeurs dans un autre espace vectoriel normé $F$. C'est par exemple le cas de la préservation de la continuité par convergence uniforme. En revanche, toutes les propriétés relatives à l'intégration et à la dérivation nécessitent que l'ensemble de départ soit un intervalle (il faut bien pouvoir donner un sens aux objets considérés!).

Les propriétés relatives au critère de Cauchy nécessitent elles que l'espace d'arrivée $F$ soit un espace de Banach. Ainsi, la convergence normale entraîne la convergence uniforme si l'espace d'arrivée est un espace de Banach (ce qui est bien sûr le cas de $\mathbb R$ et de $\mathbb C$). De même, le théorème de permutation des limites, qui se démontre en utilisant le critère de Cauchy, exige la complétude de l'ensemble d'arrivée. On peut l'énoncer sous la forme plus générale suivante :

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions d'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$, à valeurs dans un espace de Banach $F$. On supppose que $(f_n)$ converge uniformément vers $f:A\to F$ sur $A$, et soit $a$ un point adhérent à $A.$ Si, pour tout $n\geq 1$, $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a,$ alors $(\ell_n)$ admet une limite $\ell$, $f$ admet une limite en $a$ et $$\lim_{x\to a}f(x)=\ell.$$