Résumé de cours : Séries numériques

Généralités

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie munie d'une norme $\|\cdot\|$ et soit $(u_n)$ une suite de $E$. On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$ le vecteur $$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$ On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note $$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Le vecteur $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ de $E$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$. Toujours dans le cas de la convergence, le reste de la série d'ordre $n$ est défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$

Remarque : si on a fixé une base $(e_1,\dots,e_d)$ de $E$, chaque $u_n$ peut s'écrire $u_n=u_n(1)e_1+\dots +u_n(d)e_d$. La convergence de $\sum_n u_n$ est alors équivalente à la convergence de toutes les séries de nombres complexes $\sum_n u_n(k)$, $k=1,\dots,d$.

Proposition : Si la série $\sum_n u_n$ converge, alors $(\|u_n\|)$ tend vers 0.

Dans le cas où $(\|u_n\|)$ ne tend pas vers $0,$ la série est dite grossièrement divergente.

Lien suite série : Si on pose, pour $n\geq 0$, $v_n=u_{n+1}-u_n$, alors $$\sum_{k=0}^n v_k=u_{n+1}-u_0.$$ En particulier, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ converge.

Théorème : La série $\sum_n u_n$ est convergente si et seulement si, pour tout $\veps>0$, il existe un entier $N\in\mathbb N$ tel que, pour tous $q\geq p\geq N$, on a $$\left\|\sum_{n=p}^q u_n\right\|\leq\veps.$$

Autrement dit, une série de nombres réels, de nombres complexes, ou à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie, est convergente si et seulement si la suite de ces sommes partielles est une suite de Cauchy.

Théorème : Si la série (de réels positifs) $\sum_n \|u_n\|$ converge, alors la série $\sum_n u_n$ converge. On dit alors que la série est absolument convergente.

Exemple : Soit $E=\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $A\in E.$ Alors la série $\sum_{n\geq 0}\frac{A^n}{n!}$ converge. En effet, puisque toutes les normes sur $E$ sont équivalentes, on peut supposer que $E$ est muni d'une norme d'algèbre, c'est-à-dire que $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$ pour tous $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R).$ Mais alors, $$\left\|\frac{A^n}{n!}\right\|\leq \frac{\|A\|^n}{n!}$$ et la série (numérique) $\sum_n\frac{\|A\|^n}{n!}$ converge. On appelle la somme de cette série l'exponentielle de $A$, notée $\exp(A).$

Séries à termes positifs

On rappelle le résultat suivant, qui est fondamental dans l'étude des séries à termes positifs.

Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

En particulier, on rappelle que si $0\leq u_n\leq v_n$, alors :

si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge
si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

Théorème (sommation des relations de comparaison) : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels telles que $(v_n)$ garde un signe constant à partir d'un certain rang.

équivalence : Si $u_n\sim_{+\infty} v_n$, alors :
- si $\sum_n v_n$ diverge, alors $\sum_n u_n$ diverge et on a $\sum_{k=1}^n u_k\sim \sum_{k=1}^n v_k$ (équivalence des sommes partielles).
- si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge et on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k \sim_{+\infty} \sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k$ (équivalence des restes).
domination : Si $u_n=_{+\infty} O(v_n)$, alors :
- si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge et on a $\sum_{k=1}^{n}u_k =_{+\infty}O\left( \sum_{k=1}^{n}v_k\right)$ (domination des sommes partielles).
- si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge et on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k =_{+\infty}O\left( \sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k\right)$ (domination des restes).
négligeabilité : Si $u_n=_{+\infty} o(v_n)$, alors :
- si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge et on a $\sum_{k=1}^{n}u_k =_{+\infty}o\left( \sum_{k=1}^{n}v_k\right)$ (négligeabilité des sommes partielles).
- si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge et on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k =_{+\infty}o\left( \sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k\right)$ (négligeabilité des restes).

Pour appliquer le théorème précédent, on a besoin de séries de référence. On rappelle en particulier que $\sum_n \frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Exemple : le lemme de Cesàro. Soit $(u_n)$ une suite de limite $\ell.$ Notons $$v_n=\frac{u_1+\cdots+u_n}{n}.$$

si $\ell\neq 0,$ $u_n\sim\ell$ et $\sum_n \ell$ diverge, donc $\sum_{k=1}^n u_k\sim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^n \ell=n\ell.$ Ainsi, $v_n\sim_{n\to+\infty}\ell$.
si $\ell=0$, $u_n=o(1)$ et $\sum_n 1$ diverge, donc $\sum_{k=1}^n u_k=o\left(\sum_{k=1}^n 1\right)=o(n).$ Ainsi, $v_n=o(1).$

Dans les deux cas, on trouve que $(v_n)$ tend vers $\ell.$

Le théorème suivant est un résultat de comparaison avec les séries géométriques.

Théorème (règle de d'Alembert) : Soit $(u_n)$ une suite de complexes qui ne s'annule jamais. On suppose que $\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\to\ell$. Alors :

si $\ell< 1$, la série $\sum_n u_n$ converge absolument;
si $\ell>1$, la série $\sum_n u_n$ diverge grossièrement;
si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.

Comparaison à une intégrale

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux. L'étude de la convergence de la série $\sum f(n)$ peut souvent se ramener à l'étude de la convergence de l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ lorsque $f$ est monotone. En effet, on dispose des inégalités suivantes :

si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$

En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.

Théorème : Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb [0,+\infty[$ continue par morceaux et décroissante. Alors la série $\sum_n f(n)$ et l'intégrale impropre $\int_1^{+\infty}f(t)dt$ sont de même nature. De plus, la suite $\left(S_n-\int_0^n f(t)dt\right)$ admet une limite finie.

Séries alternées

Critère des séries alternées : Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, et tendant vers $0$. Alors la série $\sum_n (-1)^n a_n$ converge. De plus, si on note $S$ sa somme, $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$ la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k$ le reste d'ordre $n$, alors pour tout entier $n$, on a $S_{2n+1}\leq S\leq S_{2n}$, $|R_n|\leq a_{n+1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n+1}$.

Exemple : La série $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>0.$

Produit de Cauchy de deux séries

Soit $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ deux séries à valeurs dans $E$. Le produit de Cauchy des deux séries est la série $\sum_n w_n$ où, pour tout $n\geq 0$, $$w_n=\sum_{k=0}^n u_k v_{n-k}.$$

Théorème : Soit $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ deux séries absolument convergentes. Alors leur produit de Cauchy $\sum_n w_n$ est absolument convergent et on a $$\sum_{n\geq 0}w_n=\left(\sum_{n\geq 0}u_n\right)\times\left(\sum_{n\geq 0}v_n\right).$$

Grâce à ce résultat, on peut démontrer que, pour tous $z,z'\in\mathbb C$, on a $$\exp(z+z')=\exp(z)\times \exp(z').$$