Résumé de cours : Séries entières, séries de Fourier
Série entière - rayon de convergence
On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum_{n}a_nz^n$ où $(a_n)$ est une suite de nombres complexes et où $z\in\mathbb C$.
Lemme d'Abel : Si la suite $(a_nz_0^n)$ est bornée, alors pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<|z_0|$, la série $\sum_n a_n z^n$
est absolument convergente.
On appelle rayon de convergence de la série entière
$$R=\sup\{\rho\geq 0;\ (a_n\rho^n)\textrm{ est bornée}\}\in \mathbb R_+\cup\{+\infty\}.$$
Proposition : Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors, pour tout $z\in \mathbb C$,
si $|z|<R$, la série $\sum_n a_nz^n$ converge absolument;
si $|z|>R$, la série $\sum_n a_nz^n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers 0);
si $|z|=R$, alors on ne peut pas conclure en général.
Le disque ouvert $D(0,R)$ est alors appelé disque ouvert de convergence de la série entière.
Corollaire (convergence normale) : Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit
$r\in ]0,R[$. Alors la série $\sum_n a_nz^n$ converge normalement sur le disque fermé $D(0,r)$. En particulier, la somme de la série entière est continue sur son disque ouvert de convergence.
Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on utilise souvent la règle de d'Alembert pour les séries dont l'énoncé est le suivant :
Règle de d'Alembert : Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs. Si $u_{n+1}/u_n$ tend vers $\ell$, alors
si $\ell>1$, la série $\sum_n u_n$ diverge grossièrement;
si $\ell<1$, la série $\sum_n u_n$ converge absolument.
Lorsqu'on applique cette règle à une série entière $\sum_n a_nz^n$ en posant $u_n=|a_nz^n|$, on obtient que si $|a_{n+1}|/|a_n|$ converge vers $\ell$,
alors le rayon de convergence de la série entière est $1/\ell$.
Opérations sur les séries entières
On considère $\sum_n a_n z^n$ et $\sum_n b_nz^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$.
Comparaison des rayons de convergence : si $a_n=O(b_n)$, alors $R_a\geq R_b$. En particulier, si $a_n\sim b_n$, alors $R_a=R_b$.
Rayon de convergence de la série dérivée : le rayon de convergence
de $\sum_n na_nz^{n-1}$ est égal au rayon de convergence de $\sum_n a_nz^n$.
Somme de deux séries entières : le rayon de convergence de la série somme $\sum_n (a_n+b_n)z^n$ vérifie $R\geq \min(R_a,R_b)$. De plus, pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<\min(R_a,R_b)$, alors
$$\sum_{n\geq 0} (a_n+b_n)z^n=\sum_{n\geq 0} a_n z^n+\sum_{n\geq 0}b_nz^n.$$
On appelle série entière produit de $\sum_n a_nz^n$ et de $\sum_n b_nz^n$ la série entière $\sum_n c_nz^n$ avec $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.
Proposition : Le rayon de convergence $R$ de la série produit $\sum_n c_nz^n$ de $\sum_n a_nz^n$ et $\sum_n b_nz^n$
vérifie $R\geq \min(R_a,R_b)$. De plus, pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<\min(R_a,R_b)$, alors
$$\sum_{n\geq 0} c_nz^n=\left(\sum_{n\geq 0} a_n z^n\right)\times\left(\sum_{n\geq 0}b_nz^n\right).$$
Régularité, cas de la variable réelle
On s'intéresse désormais au cas où la variable ne peut plus prendre que des valeurs réelles, et nous noterons désormais les
séries entières $\sum_n a_n x^n$. On s'intéresse à la régularité de la série entière à l'intérieur de son intervalle de convergence $]-R,R[$.
Théorème (intégration d'une série entière) : Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit $F$
une primitive de $f$. Alors, pour tout $x\in ]-R,R[$,
$$F(x)=F(0)+\sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}.$$
Théorème (dérivation terme à terme) : Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-R,R[$. De plus, pour tout $x\in]-R,R[$ et tout $k\geq 0$, on a
$$f^{(k)}(x)=\sum_{n\geq k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k}.$$
Théorème (expression des coefficients d'une série entière) : Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors, pour tout $n\geq 0$,
$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$
Corollaire : Si $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ et $g(x)=\sum_{n\geq 0} b_nx^n$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $n\geq 0$, $a_n=b_n$.
Cas de la variable complexe
Théorème (dérivabilité de la variable complexe) : Soit $f(z)=\sum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors, pour tout $z_0\in D(0,R)$,
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\sum_{n\geq 1}n a_n z_0^{n-1}.$$
Développements en série entière
Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f:I\to\mathbb R$.
On dit que $f$ est développable en série entière en 0 s'il existe $r>0$ et une suite $(a_n)$ tels que, pour tout $x\in ]-r,r[$, on ait
$f(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$. En particulier, une fonction développable en série entière en $0$ est de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0$.
Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière.
Le produit de deux fonctions développables en série entière est développable en série entière.
Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière.
Corollaire : Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f:I\to\mathbb R$. Si $f$ est développable en série entière en $0$, alors il existe $r>0$ tel que,
pour tout $x\in ]-r,r[$,
$$f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$$
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique.
On appelle coefficients de Fourier exponentiels de $f$ la suite $(c_n(f))_{n\in\mathbb Z}$ définie par
$$c_n(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt.$$
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques de $f$ les deux suites $(a_n(f))_{n\geq 0}$ et $(b_n(f))_{n\geq 1}$ définies par
$$a_0(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$$
$$a_n(f)=\frac1{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt,\ n\geq 1$$
$$b_n(f)=\frac 1{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt),\ n\geq 1.$$
On appelle série de Fourier de $f$ la série de fonctions
$$S(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{int}=a_0(f)+\sum_{n\geq 1}\big(a_n(f)\cos(nt)+b_n(f)\sin(nt)\big).$$
Les sommes partielles de cette série seront notées
$$S_n(f)(t)=\sum_{k=-n}^n c_k(f)e^{ikt}=a_0(f)+\sum_{k=1}^n\big(a_k(f)\cos(kt)+b_k(f)\sin(kt)\big).$$
Théorèmes de convergence ponctuelle
Théorème de Jordan-Dirichlet : Soit $f$ une fonction $\mathcal C^1$ par morceaux et $2\pi$-périodique. Alors, pour tout $x\in\mathbb R$, $S_n(f)(x)$ converge vers
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}2$$
où $f(x+0)$ (resp. $f(x-0)$) désigne la limite à droite (à gauche) de $f$ en $x$.
Théorème de convergence normale : Soit $f$ une fonction continue, $\mathcal C^1$ par morceaux et $2\pi$-périodique. Alors la série de Fourier de $f$ converge normalement vers $f$.
Théorèmes de convergence en moyenne de Cesàro
Théorème de Féjer : Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$-périodique.
Alors les moyennes de Cesàro de la série de Fourier de $f$ convergent uniformément vers $f$.
Autrement dit, si on note
$$C_n(f)=\frac{S_0(f)+S_1(f)+\dots+S_n(f)}{n+1}$$
alors
$$\lim_{n\to+\infty}\|f-C_n(f)\|_\infty=0.$$
Corollaire (théorème de Weierstrass) : Les polynômes trigonométriques sont denses dans l'ensemble des fonctions continues et $2\pi$-périodiques : pour toute fonction $f$ continue et $2\pi$-périodique, pour tout $\veps>0$, il existe un polynôme trigonométrique $P$ tel que
$$\|f-P\|_\infty\leq\veps.$$
Théorèmes de convergence en moyenne quadratique
On définit un produit scalaire sur l'espace $E$ des fonctions continues $2\pi$-périodiques par
$$\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\overline{g(t)}dt.$$
Les fonctions $(e^{inx})$ forment une suite orthonormée pour ce produit scalaire. Nous noterons
$\|\cdot\|_2$ la norme associée à ce produit scalaire (norme de la convergence en moyenne quadratique).
Notons $\mathcal P_n$ l'ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à $n$,
$\mathcal P_n=\textrm{vect}(e^{ikt};\ -n\leq k\leq n)$. Si $f\in E$, alors $S_n(f)$ est le projeté orthogonal de $f$ sur $\mathcal P_n$.
Par conséquent, $S_n(f)$ est la meilleure approximation de $f$ dans $\mathcal P_n$ pour la norme $\|\cdot\|_2$ :
$$\|f-S_n(f)\|_2=\inf\big\{\|f-P\|_2;\ P\in \mathcal P_n\big\}.$$
Théorème de Parseval : Si $f$ est continue par morceaux et $2\pi$-périodique, alors
$$\|f-S_n(f)\|_2\to 0.$$
En particulier, on a
\begin{eqnarray*}
\frac 1{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(t)|^2dt&=&\sum_{n\in\mathbb Z}|c_n(f)|^2\\
&=&|a_0(f)|^2+\frac 12\sum_{n\geq 1}\left(|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2\right).
\end{eqnarray*}
