Résumé de cours : polynômes et fractions rationnelles
On appelle polynôme à coefficients dans $\mathbb K$ une suite finie $(a_0,\dots,a_N)$ d'éléments de $\mathbb K$. On note ce polynôme $\sum_{n\geq 0}a_nX^n$, où $X$ est appelée l'indéterminée. On note $\mathbb K[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$.
On définit sur $\mathbb K[X]$ les opérations suivantes : si $P(X)=\sum_{n\geq 0}a_nX^n$ et $Q(X)=\sum_{n\geq 0}b_nX^n$ (où les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont nulles à partir d'un certain rang), on pose $$(P+Q)(X)=\sum_{n\geq 0}(a_n+b_n)X^n$$ $$(PQ)(X)=\sum_{n\geq 0}c_nX^n\textrm{ où }c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}.$$ Ces deux opérations font de $\mathbb K[X]$ un anneau.
Soient $A,B\in\mathbb K[X]$, avec $B=\sum_{n=0}^N b_nX^n$. Alors on appelle composé de $A$ par $B$ le polynôme de $\mathbb K[X]$ $$B\circ A=\sum_{n=0}^N b_n A^n.$$
Si $P=\sum_{n\geq 0}a_n X^n$ n'est pas nul, il existe un plus grand indice $n\in\mathbb N$ tel que $a_n\neq 0$. Cet entier s'appelle le degré de $P$, noté $\deg( P)$. Le coefficient $a_n$ correspondant s'appelle le coefficient dominant de $P$. Par convention, si $P$ est nul, son degré vaut $-\infty$. Un polynôme de coefficient dominant égal à $1$ est appelé unitaire.
Pour tous polynômes $P,Q\in\mathbb K[X]$ non nuls, on a \begin{eqnarray*} \deg(P+Q)&\leq&\max\big(\deg( P),\deg(Q)\big)\\ \deg(PQ)&=&\deg( P)+\deg(Q)\\ \deg(P\circ Q)&=&\deg( P)\times\deg(Q). \end{eqnarray*}
On note $\mathbb K_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$ de degré inférieur ou égal à $n$.
Pour $P=\sum_{n\geq 0}a_n X^n$, on note $P'=\sum_{n\geq 1}na_n X^{n-1}$ appelé polynôme dérivé de $P$. Si $\deg(P )\geq 1$, alors $\deg(P')=\deg( P)-1$.
Soit $A,B\in\mathbb K[X]$ avec $B$ non nul. On dit que $B$ divise $A$ s'il existe $Q\in\mathbb K[X]$ tel que $A=BQ.$ On dit aussi que $B$ est un diviseur de $A$ ou que $A$ est un multiple de $B$.
Deux polynômes non nuls $A$ et $B$ de $\mathbb K[X]$ sont dits associés si $A$ divise $B$ et si $B$ divise $A.$ Ceci revient à dire qu'il existe $\lambda\in\mathbb K^*$ tel que $A=\lambda B$.
Un polynôme $P=\sum_{n=0}^N a_n X^n\in\mathbb K[X]$ définit une fonction polynomiale $\tilde P:\mathbb K\to\mathbb K$ par $\tilde P(z)=\sum_{n=0}^N a_n z^n$. Le plus souvent, on identifie polynôme et fonction polynomiale.
On dit que $a$ est une racine de $P$ si $P(a)=0$. Ceci est équivalent à dire que $(X-a)$ divise $P$.
- Si $a_1,\dots,a_p$ sont des racines distinctes de $P$, alors $(X-a_1)\cdots (X-a_p)$ divise $P$.
- Un polynôme de degré $n\geq 0$ admet au plus $n$ racines.
Soit $P\in\mathbb K[X]$, soit $a\in\mathbb K$ et soit $m\in\mathbb N$. On dit que $a$ est racine d'ordre de multiplicité $m$ si $$P(a)=P'(a)=\dots=P^{(m-1)}(a)=0\textrm{ et }P^{(m)}(a)\neq 0.$$
- $a$ est racine de $P$ de multiplicité $m$.
- $(X-a),\dots,(X-a)^{m}$ divisent $P$, et $(X-a)^{m+1}$ ne divise pas $P$.
Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ de degré $N$ est dit scindé s'il se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{j=1}^N (X-z_j).$$
Relations coefficients/racines : Si un polynôme est scindé, on peut exprimer les coefficients en fonction des racines en développant l'expression ci-dessus. Plus précisément, si $$P(X)=\sum_{n=0}^N a_n X^n=a_N\prod_{j=1}^N (X-z_j)$$ alors $$a_{N-p}=(-1)^p a_N\sum_{1\leq k_1<k_2<\dots<k_p\leq N}z_{k_1}\cdots z_{k_p}.$$ En particulier, on a $$\sum_{k=1}^N z_k=-\frac{a_{N-1}}{a_N},\ \prod_{k=1}^N z_k=(-1)^N \frac{a_0}{a_N}.$$
Soit $A,B$ dans $\mathbb K[X]$ non nuls. Tout diviseur commun à $A$ et $B$ de degré maximal est appelé pgcd de $A$ et $B$. Tous les pgcd de $A$ et $B$ sont associés. En particulier, un seul est unitaire, on l'appelle parfois le pgcd de $A$ et $B$. Il est noté $A\wedge B$. Comme pour les entiers, le pgcd de deux polynômes peut se calculer à l'aide de divisions euclidiennes successives et de l'algorithme d'Euclide.
On dit que $A$ et $B$ sont premiers entre eux si $A\wedge B=1$.
Soient $A,B$ dans $\mathbb K[X]$ non-nuls. Tout multiple commun à $A$ et $B$ de degré minimal est appelé ppcm de $A$ et $B$. Tous les ppcm de $A$ et $B$ sont associés. En particulier, un seul est unitaire, on l'appelle parfois le ppcm de $A$ et $B$. Il est noté $A\vee B$.
Par conséquent, tout polynôme non-constant de $\mathbb C[X]$ est scindé.
Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ est irréductible s'il est de degré supérieur ou égal à 1 et si tous ses diviseurs sont les polynômes constants ou les polynômes associés à $P$ (c'est-à-dire les polynômes qui s'écrivent $\lambda P$ avec $\lambda\in\mathbb K$).
- Les polynômes irréductibles de $\mathbb C[X]$ sont les polynômes de degré 1.
- Tout polynôme non nul est produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires. Cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
En particulier, tout polynôme $P\in\mathbb C[X]$ non-constant se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$$ où $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ dans $\mathbb C$ de multiplicités respectives $\mu_1,\dots,\mu_r$.
En particulier, deux polynômes non nuls de $\mathbb C[X]$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont pas de racines communes.
- Les polynômes irréductibles de $\mathbb R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.
- Tout polynôme non nul est produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires. Cette décomposition est unique à l'ordre des termes près.
En particulier, tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$ non-constant se factorise en $$P(X)=a_N\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$$ où $z_1,\dots,z_r$ sont les racines distinctes de $P$ dans $\mathbb R$ de multiplicités respectives $\mu_1,\dots,\mu_r$, et où pour chaque $k$ on a $\beta_k^2-4\gamma_k<0$.
Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient $\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$ avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.
On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : $$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$ $$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$ Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.
Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg(P)-\deg(Q)$. C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.
Soit $F\in\mathbb K(X)$ une fraction rationnelle. Alors $F$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux. Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près. Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.
Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$. La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.
Soit $F\in\mathbb K(X)$ s'écrivant sous forme irréductible $P/Q$. Notons $\mathcal P$ les pôles de $F$. Alors on associe à $F$ une fonction définie sur $\mathbb K\backslash \mathcal P$ par $x\mapsto P(x)/Q(x).$ Cette fonction s'appelle fonction rationnelle associée à $F.$
Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de $P$ par $Q$.