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Résumé de cours : Intégration

Intégrale d'une fonction continue par morceaux

On appelle subdivision du segment $[a,b]$ toute suite finie $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$. Le pas de cette subdivision est le plus grand des $a_{i+1}-a_i$.

On dit que $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue par morceaux sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de $[a,b]$ telle que la restriction de $f$ à chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ est continue et admet une limite en $a_i$ et en $a_{i+1}$.

On dit que $f:[a,b]\to\mathbb R$ est une fonction en escalier sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de $[a,b]$ telle que la restriction de $f$ à chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ est constante. Une telle subdivision de $[a,b]$ est alors appelée subdivision adaptée à la fonction en escalier $f$.

Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est en escalier et si $\sigma=(a_0=a<a_1<\dots<a_n=b)$ est une subdivision adaptée à $f$, on appelle intégrale de $f$ sur $[a,b]$ le réel $$\int_a^b f=\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i)f(x_i)$$ où $x_i$ est n'importe quel réel de l'intervalle $]a_i,a_{i+1}[$. Remarquons que le nombre $\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i)f(x_i)$ ne dépend pas d'une subdivision adaptée à $f$, ce qui justifie que notre définition est correcte.

Le théorème suivant est fondamental pour passer de l'intégrale d'une fonction en escalier à l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue par morceaux. Alors pour tout $\veps>0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ définies sur $[a,b]$ telles que $$\phi\leq f\leq \psi\textrm{ et }\psi-\phi\leq \veps.$$

Théorème et définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue par morceaux et posons \begin{eqnarray*} \mathcal I^-(f)&=&\left\{\int_a^b \phi;\ \phi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \phi\leq f\right\}\\ \mathcal I^+(f)&=&\left\{\int_a^b \psi;\ \psi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \psi\geq f\right\}. \end{eqnarray*} Alors $\mathcal I^-(f)$ est majoré et $\mathcal I^+(f)$ est minoré. De plus, $$\sup \mathcal I^-(f)=\inf \mathcal I^+(f).$$ Ce nombre est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$ et est noté $\int_a^b f$ ou $\int_a^b f(t)dt$.

Si $f:[a,b]\to\mathbb C$ est une fonction continue par morceaux à valeurs complexes, on définit son intégrale sur $[a,b]$ par $$\int_a^b f= \int_a^b \Re e(f)+i\int_a^b \Im m (f).$$

Propriétés fondamentales de l'intégrale des fonctions continues sur un segment

Soit $a<b$ deux réels et $f,g:[a,b]\to\mathbb C$ deux fonctions continues par morceaux sur le segment $[a,b]$. Alors l'intégrale vérifie les propriétés suivantes :

linéarité : pour tout couple $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$, $$\int_a^b \big(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.$$
positivité : si $f\geq 0$, alors $\int_a^b f\geq 0$.
croissance : si $f\leq g$, alors $\int_a^b f\leq \int_a^b g$.
En particulier, on en déduit que $$\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|.$$
Relation de Chasles : si $c\in [a,b]$, alors $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$

Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.

Proposition : Soit $f:[-a,a]\to\mathbb C$ une fonction continue par morceaux.

si $f$ est impaire, $\int_{-a}^a f(t)dt=0$.
si $f$ est paire, $\int_{-a}^a f(t)dt=2\int_0^a f(t)dt$.

Proposition : Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ une fonction continue par morceaux et $T$-périodique, où $T>0$. Alors, pour tout $a\in\mathbb R$, $$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$

Sommes de Riemann

Théorème : Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb C$. Alors $$\frac {b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$

Relations entre intégrales et primitives

On suppose $f$ continue sur un intervalle $I$, et on considère $a$ et $b$ deux éléments de $I$.

Théorème fondamental du calcul intégral : L'application $F:x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

En particulier, le théorème fondamental du calcul intégral admet les conséquences suivantes :

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
Pour toute primitive $F$ de $f$ sur $I$, on a $\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$.
Si $f$ est de classe $C^1$, alors pour tout $x\in I$, $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt.$
Si $u,v:J\to I$ sont dérivables sur $J$, alors l'application $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$ est dérivable sur $J$ et l'on a $$F'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x)).$$

Intégration par parties et changement de variables

Théorème : Soient $u,v:I\to\mathbb C$ deux fonctions de classe $C^1$. Alors pour tous $a,b$ dans $I$, on a $$\int_a^b u'(t)v(t)dt=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u(t)v'(t)dt.$$
Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$, pour tout $a,b\in I$, on a $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$

Intégrale impropre

Soit $f:[a,+\infty[\to \mathbb K$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale $\int_a^{+\infty}f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Dans ce cas, on note $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ ou $\int_a^{+\infty}f$ cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre.

Soit $f:[a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ cette limite.

Soit $f:]a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) $c\in ]a,b[$, la fonction $x\mapsto \int_c^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$ et la fonction $x\mapsto \int_x^c f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ la somme de ces deux limites : $$\int_a^b f=\lim_{x\to a^+}\int_x^c f+\lim_{y\to b^-}\int_c^yf.$$ Cette valeur ne dépend pas de $c\in]a,b[$.

Dans la suite, on considèrera $I=(a,b)$ un intervalle de $\mathbb R$ ouvert ou semi-ouvert et $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions continues par morceaux. Les propriétés usuelles suivantes sont vérifiées :

positivité : si $\int_I f$ converge et si $f\geq 0$ sur $I$, alors $\int_I f\geq 0$;
linéarité : si $\int_I f$ et $\int_I g$ convergent, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K$, $\int_I(f+\lambda g)$ converge et $\int_I(f+\lambda g)=\int_I f+\lambda \int_I g$.
relation de Chasles : si $\int_I f$ converge, alors pour tout $c\in ]a,b[$, $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent et on a $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$

De plus, on a les propriétés suivantes :

si $a$ et $b$ sont des réels et $f$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$, alors l'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ converge et sa valeur coïncide avec l'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ au sens usuel de l'intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment ;
si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge si et seulement si $F$ admet une limite en $a$ et en $b$. Dans ce cas, $$\int_a^b f(t)dt=\lim_{x\to b^-}F(x)-\lim_{x\to a^+}F(x).$$

Théorème (cas des fonctions positives) : Si $f:[a,b[\to\mathbb R$ est positive, alors $\int_a^{b}f$ converge si et seulement si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.

Comme pour les séries, on a besoin d'intégrales de référence. Les deux exemples suivants sont les plus importants :

Théorème : Soit $\alpha\in\mathbb R$. Alors $\int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}dt$ converge si et seulement si $\alpha>0$.

Théorème (intégrales de Riemann) :

L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
L'intégrale $\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha<1$.

Attention! $\int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ n'est jamais convergente!

Fonctions intégrables

$I$ est un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et $f,g:I\to\mathbb K$ sont des fonctions continues par morceaux. On dit que $f$ est intégrable sur $I$ ou que $\int_If$ est absolument convergente si $\int_I|f|$ converge.

Théorème : Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_I f(t)dt$ converge.

Si $\int_I f(t)dt$ converge sans que $f$ ne soit intégrable sur $I$, alors on parle d'intégrale semi-convergente.

Proposition : Si $f$ et $g$ sont intégrables sur $I$, alors $f+g$ est intégrable sur $I$ et on a $$\int_I |f+g|\leq \int_I |f|+\int_I |g|.$$

Proposition : Si $f$ est continue et intégrable sur $I$, alors $$\int_I |f(t)|dt=0\implies f\equiv 0.$$

Les deux propriétés précédentes entrainent que, si on note $L^1(I)$, l'ensemble des fonctions continues et intégrables de $I$ dans $\mathbb K$, alors $L^1(I)$ est un sous-espace vectoriel des fonctions continues sur $I$ et $\|f\|_1=\int_I |f(t)|dt$ est une norme sur $\mathcal E(I)$.

Théorème (critères d'intégrabilité par comparaison) : Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux.

si $0\leq f\leq g$ alors l’intégrabilité de $g$ sur $I$ implique celle de $f$;
si $f(x)\sim_b g(x)$ et si $g$ garde un signe constant au voisinage de $b$, l'intégrabilité de $g$ sur $I$ est équivalente à celle de $f$.

Le premier point du théorème précédent s'applique en particulier si $f(x)=_b O\big(g(x)\big)$ ou si $f(x)=_b o\big(g(x)\big)$.

Corollaire (comparaison à des intégrales de Riemann) : Soit $f:[a,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux.

S'il existe $\alpha>1$ tel que $t^\alpha f(t)\xrightarrow{t\to+\infty}0$, alors $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$.
S'il existe $c>0$ tel que $\lim_{t\to+\infty}tf(t)\geq c$, alors l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ n'est pas convergente.

On a un critère analogue au voisinage d'un point $a$, en remplaçant la condition $\alpha>1$ par $\alpha<1$.

Intégration des relations de comparaison

Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continue par morceaux telles que $g$ garde un signe constant au voisinage de $b$.

Équivalence : Si $f\sim_b g$, alors :

si $\int_a^b g(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b f(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt\sim_b \int_a^x g(t)dt$ (équivalence des intégrales partielles).
si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt\sim_b \int_x^b g(t)dt$ (équivalence des restes).

Domination : Si $f=_b O(g)$, alors :

si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b O\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (domination des intégrales partielles).
si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b O\left(\int_x^b g(t)dt\right)$ (domination des restes).

Négligeabilité : Si $f=_b o(g)$, alors :

si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b o\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (négligeabilité des intégrales partielles).
si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b o\left( \int_x^b g(t)dt\right)$ (négligeabilité des restes).

Permutation limites et intégrales

Lorsqu'on souhaite permuter une limite et une intégrale de fonctions continues sur un segment, on peut faire appel au théorème très simple suivant :

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb C$, convergeant uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$. Alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)dt=\int_a^b f(t)dt.$$

Lorsqu'on a affaire à des intégrales )impropres, on utilise des résultats plus sophistiqués, comme les énoncés suivants.

Théorème de convergence dominée : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\varphi$ positive. On suppose que

pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
pour tout $t\in I$ et tout $n\geq 1$, $|f_n(t)|\leq \varphi(t)$;
la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$.

Alors toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a $$\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$$

En utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité, on peut étendre le théorème de convergence dominée au cas d'une famille de fonctions $(f_\lambda)_{\lambda\in J}$ où $J$ est un intervalle de $\mathbb R$. Par exemple, pour $J=[a,b[,$ (avec éventuellement $b=+\infty$), si $(f_\lambda)_{\lambda\in J}$ est une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ sont continues par morceaux avec $\varphi$ positive, si on suppose que

pour tout $t\in I$, $(f_\lambda(t))$ converge vers $f(t)$ lorsque $\lambda\to b$,
pour tout $t\in I$ et tout $\lambda\in J$, $|f_\lambda(t)|\leq \varphi(t)$,
la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$,

Alors toutes les fonctions $f_\lambda$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a $$\lim_{\lambda\to b}\int_I f_\lambda=\int_I f.$$

Théorème d'intégration terme à terme (cas des fonctions positives) : Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R_+$ continues par morceaux et intégrables et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux. On suppose que pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$. Alors, dans $[0,+\infty]$, on a $$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$

En particulier, sous les hypothèses précédentes, l'intégrabilité de $f=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ sur $I$ est équivalente à $$\sum_{n=1}^{+\infty}\int_I u_n(t)dt<+\infty.$$

Théorème d'intégration terme à terme (cas général) : Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb K$ continues par morceaux et intégrables et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux. On suppose que

pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$;
la série $\sum_{n\geq 1}\int_I |u_n(t)|dt$ est convergente.

Alors $f$ est intégrable sur $I$, et on a $$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$

Théorème de convergence monotone : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb R_+$, et $f:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux. On suppose que

pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
pour tout $t\in I$, la suite $(f_n(t))$ est croissante.

Alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$

En particulier, si $\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=+\infty$, la fonction $f$ n'est pas intégrable.

Régularité d'une intégrale à paramètres (sur un segment)

Théorème (continuité des intégrales à paramètres) Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I=[a,b]$ un segment de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que $f$ est continue sur $A\times I$. Alors la fonction $F:x\mapsto \int_a^b f(x,t)dt$ est continue sur $A$.
Théorème (dérivabilité des intégrales à paramètres) Soit $I=[a,b]$ un segment, $J$ un intervalle et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que $f$ est continue sur $J\times I$ et qu'elle admet une dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ elle-même continue sur $J\times I$. Alors la fonction $F:x\mapsto \int_a^b f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.

Régularité d'une intégrale à paramètres

Théorème de continuité des intégrales à paramètres : Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que

pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$;
pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
il existe $\varphi:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in A$ et tout $t\in I$, $$|f(x,t)|\leq \varphi(t).$$

Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est continue sur $A$.

En général, $A$ est un intervalle de $\mathbb R$. Dans ce cas, en utilisant le fait que la continuité est une propriété locale, il suffit de vérifier les hypothèses (notamment celle de domination) sur tout segment $K$ contenu dans $A$.

Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que

pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$;
pour tout $t\in I,$ la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$;
pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
il existe $\varphi:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\leq \varphi(t).$$

Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.

À nouveau, il suffit de vérifier l'hypothèse de domination sur tout segment $K\subset J$.

Classe $\mathcal C^k$ des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$ et $k\geq 1$. On suppose que

pour tout $t\in I,$ la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $J$;
pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)$ est intégrable sur $I$;
il existe $\varphi:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq \varphi(t).$$

Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, $$F^{(j)}(x)=\int_I \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)dt.$$