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Résumé de cours : fonctions d'une variable réelle

Continuité

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction et $a\in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet pour limite $f(a)$ en $a$ : $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies |f(x)-f(a)|<\veps.$$

Théorème (caractérisation séquentielle de la continuité) : $f$ est continue en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.

On parle de continuité à droite ou de continuité à gauche lorsqu'on utilise les notions de limite à droite et de limite à gauche. On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.

Toute combinaison linéaire, tout produit, toute composée, tout quotient dont le dénominateur ne s'annule pas de fonctions continues est une fonction continue.

Grands théorèmes sur la continuité

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Soit $\gamma\in \mathbb R$ tel que $\gamma$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=\gamma$.

En particulier, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Corollaire : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, le tableau suivant donne l'intervalle $f(I)$ en fonction de $I$ :

	$[a,b]$	$]a,b]$	$[a,b[$	$]a,b[$
$f$ croissante	$[f(a),f(b)]$	$]\lim_a f,b]$	$[a,\lim_b f[$	$]\lim_a f,\lim_b f[$
$f$ décroissante	$[f(b),f(a)]$	$[f(b),\lim_a f[$	$]\lim_b f,f(a)]$	$]\lim_b f,\lim_a f[$

Bien sûr, il existe des variantes au résultat précédent, en considérant par exemple des intervalles semi-ouverts ou en considérant une fonction strictement décroissante (il faut alors inverser les bornes à l'arrivée).

Théorème des bornes atteintes : Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

En particulier, en combinant ce théorème et le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

Continuité, monotonie et injectivité

Théorème : Soit $f:I\to\mathbb R$ continue. Alors $f$ est injective si et seulement si $f$ est strictement monotone. Dans ce cas, $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$, $f^{-1}:J\to I$ est continue et $f^{-1}$ est monotone de même sens de monotonie que $f$.

Rappelons que, dans un repère orthonormé, la courbe représentative de $f$ et la courbe représentative de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x.$

Fonctions uniformément continues

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est uniformément continue si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\veps.$$

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est lipschitzienne s'il existe $k>0$ tel que, pour tous $x,y\in I$, on a $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$.

Proposition : Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.

Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue.

Approximation des fonctions continues

Le théorème de Heine permet d'approcher uniformément sur un segment les fonctions continues par des fonctions plus simples (polynômes, fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux).

Théorème de Weierstrass : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et soit $\veps>0$. Alors il existe un polynôme $P$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$, $|f(x)-P(x)|\leq\veps$.
Autrement dit, toute fonction continue est limite uniforme de polynômes.
Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et soit $\veps>0$. Alors il existe une fonction en escalier $s:[a,b]\to\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in [a,b]$, $|f(x)-s(x)|\leq\veps$.
Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et soit $\veps>0$. Alors il existe une fonction affine par morceaux $g:[a,b]\to\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in [a,b]$, $|f(x)-g(x)|\leq\veps$.

Nombre dérivé et fonction dérivée

La fonction $f:I\to\mathbb R$ est dérivable en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$.

Une fonction $f:I\to\mathbb R$ est donc dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\alpha\in\mathbb R$ et une fonction $\veps$ définie dans un intervalle $J$ ouvert contenant $0$, vérifiant $\lim_{h\to 0}\veps(h)=0$ tels que $$\forall h\in J,\ f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\veps(h).$$ Dans ce cas, on a $\alpha=f'(a)$ et on dit que $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $a$.

Proposition : si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Si $f$ est dérivable en $a$, la droite d'équation $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ s'appelle la tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$.

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. $f'$ s'appelle alors la fonction dérivée de $f$. On parle de dérivée à droite (resp. de dérivée à gauche) lorsque la limite à droite (resp. à gauche) du taux d'accroissement admet une limite.

On peut réaliser les opérations suivantes sur les fonctions dérivables :

Somme et produit : Soient $I$ un intervalle et $f,g:I\to\mathbb R$ dérivables. Alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables, et $$(f+g)'=f'+g'$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$
Quotient : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables en $a\in I$. Si de plus $g(a)\neq 0$, alors $f/g$ est dérivable en $a$ et $$\left(\frac f g\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}.$$
Composée : Soient $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ avec $b=f(a)$. On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $b$. Alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a)).$$
Réciproque : Si $f:I\to\mathbb R$ est dérivable et vérifie $f'>0$ (resp. $f'<0$) sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$, la réciproque $f^{-1}:J\to\mathbb R$ est dérivable et, pour tout $b\in J$, $$(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}.$$ En particulier, les tangentes en $(a,f(a))$ à $C_f$ et en $(f(a),a)$ à $C_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux variations

Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ admet un

minimum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\geq f(a).$$
maximum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\leq f(a).$$
extremum local en $a$ si elle admet un maximum ou un minimum local en $a$.

Proposition : Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$ dérivable en $a$. Alors si $f$ admet un extrémum local en $a$, on a $f'(a)=0$.

Théorème de Rolle : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f'( c)=0.$$

Théorème des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=f'( c)(b-a).$$

Inégalité des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. On suppose de plus qu'il existe $M>0$ tel que, pour tout $t\in ]a,b[$, $|f'(t)|\leq M$. Alors : $$|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|.$$

Théorème (application à l'étude du sens de variation des fonctions) : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Alors

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$.
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$.
$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'= 0$ sur $I$.
$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.
$f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.

En particulier, si $f'> 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante.

La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que $f:I\to\mathbb C$ est dérivable si et seulement $\Re e(f)$ et $\Im m(f)$ sont dérivables.

Le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux pour des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. En revanche, l'inégalité des accroissements finis reste vraie.

Dérivées successives

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Sa dérivée $f'$ peut elle-même être dérivable. On appelle alors cette dérivée la dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$. En itérant ce procédé, on peut définir la dérivée $n$-ième de $f$, notée $f^{(n)}$.

On dit que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ si elle admet une dérivée d'ordre $n$ notée $f^{(n)}$ et si cette dérivée est elle-même continue sur $I$. On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si elle admet des dérivées successives de tout ordre.

Si $f,g:I\to\mathbb R$ sont de classe $C^n,$ alors pour tout $\lambda\in\mathbb R,$ $\lambda f+g,\ f\star g,\ f/g$ (à condition pour cette dernière que $g$ ne s'annule pas) sont de classe $C^n$ sur $I.$ En particulier, pour le produit, le résultat suivant donne une formule pour la dérivée $n$-ième du produit.

Formule de Leibniz : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Alors $fg$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et \begin{eqnarray*} (fg)^{(n)}&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}\\ &=&f^{(n)}g+\binom n1 f^{(n-1)}g'+\binom n2 f^{(n-2)}g''+\dots+\binom nkf^{(n-k)}g^{(k)}+\dots+fg^{(n)} \end{eqnarray*}

On peut aussi prouver que la réciproque d'une fonction de classe $C^n$, bijective, est aussi de classe $C^n.$

Théorème : Si $f:I\to\mathbb R$ est de classe $C^n$ sur $I$ est telle que $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ et $f^{-1}$ est de classe $C^n$ sur $J$.

Fonctions convexes d'une variable réelle

Dans toute la suite, $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R$.

On rappelle qu'une partie $E$ du plan $\mathbb R^2$ est convexe si, pour tout $A,B\in E$, le segment $[AB]$ est contenu dans $E.$

On dit que $f$ est convexe si, pour tous $x,y\in I$ et tout $\lambda\in [0,1]$, on a $$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y).$$ Autrement dit, $f$ est convexe lorsque son épigraphe $E(f)$ est convexe, où $$E(f)=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x\in I, y\geq f(x)\}$$ (il s'agit donc de la partie située au dessus de la courbe de $f$). Ceci signifie aussi que la courbe représentative de $f$ est en-dessous de l'une quelconque de ses cordes entre les deux extrémités de la corde.

La fonction $f$ est dite concave lorsque $-f$ est convexe, c'est-à-dire lorsque pour tous $x,y\in I$ et tout $t\in [0,1]$, on a $$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$$ Dans la suite, nous ne formulerons les résultats que pour les fonctions convexes. Les énoncés pour les fonctions concaves s'en déduisent en remplaçant $\leq$ par $\geq$, croissant par décroissant, dessus par dessous.

La définition d'une fonction convexe dit que si l'on prend deux points $(x_0,f(x_0))$ et $(x_1,f(x_1))$ sur la courbe représentative de $f$, alors le segment joignant ces deux points est situé au-dessus de la courbe représentative de $f$. On peut préciser le comportement en comparant la position de la courbe représentative d'une fonction convexe et de ses sécantes.

Théorème (position du graphe d'une fonction convexe par rapport à ses sécantes) : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction convexe, et $x_0<x_1$ dans $I$. Alors la courbe représentative de $f$ est située sous la sécante joignant $(x_0,f(x_0))$ et $(x_1,f(x_1))$ sur $[x_0,x_1]$, et au-dessus à l'extérieur de $[x_0,x_1]$.

Une autre façon de caractériser la convexité est d'utiliser la croissance des pentes des cordes.

Théorème (inégalité des pentes) : Soit $f:I\to\mathbb R$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$.
Pour tout $a\in I$, la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est croissante sur $I\backslash\{a\}$.
Pour tous $a,b,c\in I$ avec $a<b<c$, on a $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq \frac{f(c)-f(a)}{c-a}\leq \frac{f(c)-f(b)}{c-b}.$$

La définition d'une fonction convexe compare l'image d'un barycentre de deux points et le barycentre des images de ces deux points. Par récurrence, on peut passer à $n$ points.

Théorème (inégalité de Jensen) : $f$ est convexe si et seulement si, pour tout $n\geq 2$, pour tous $x_1,\dots,x_n\in I$, pour tous réels $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ de $[0,1]$ tels que $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$, alors $$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).$$

Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables

$I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R$.

Théorème : On suppose que $f$ est dérivable. Alors $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante.

Corollaire : On suppose que $f$ est deux fois dérivable. Alors $f$ est convexe si et seulement si $f''\geq 0$.

Corollaire : On suppose que $f$ est convexe et dérivable. Alors la courbe représentative de $f$ est située au-dessus de ses tangentes, c'est-à-dire que pour tous $x,a\in I$, on a $f(x)\geq f'(a)(x-a)+f(a)$;

De même, la courbe représentative d'une fonction concave est située en-dessous de ses tangentes.

A l'aide de cette propriété, on démontre de nombreuses inégalités comme $$\forall x\in\left[0,\frac\pi2\right],\ \frac{2}{\pi}x\leq\sin(x)\leq x$$ $$\forall x\in\mathbb R,\ \exp(x)\geq 1+x$$ $$\forall x>-1,\ \ln(1+x)\leq x.$$

Formules de Taylor

Théorème (formule de Taylor avec reste intégral) : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
Formule de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^{n}$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(b)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)=\frac{f^{n}(c)(b-a)^{n}}{n!}.$$
Inégalité de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$\left| f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq M_{n+1}\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}$$ avec $M_{n+1}=\sup_{[a,b]}|f^{(n+1)}|$.
Formule de Taylor-Young : Soit $f:I\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^n$ et $a\in I$. Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$