Résumé de cours : espaces compacts, espaces complets, espaces connexes, espaces vectoriels normés de dimension finie

Compacité

$(E,d)$ désigne un espace métrique.

Une partie $K$ de $E$ est dite compacte si, de toute suite $(u_n)$ d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $K$.

En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.

Proposition : Toute partie compacte de $E$ est fermée et bornée.

Proposition : Si $A$ est une partie compacte de $E$ et si $B\subset A$ est fermé, alors $B$ est compact.

Exemples : Un segment $[a,b]$ est une partie compacte de $\mathbb R$. En particulier, les parties compactes de $\mathbb R$ ou de $\mathbb C$ sont les parties fermées et bornées.

Théorème : Une suite d'éléments d'une partie compacte de $E$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Théorème : Si $(E_1,d_1),...,(E_p,d_p)$ sont des espaces métriques compacts et $E=E_1\times\dots\times E_p$ est l'espace métrique produit, alors $E$ est un espace métrique compact.

Applications continues sur une partie compacte

$(E,d)$ et $(F,d)$ désignent des espaces métriques compacts.

Théorème : Soit $f:K\to F$ une fonction continue où $K$ est une partie compacte de $E$. Alors $f(K)$ est un compact de $F$.

En particulier, si $f:K\to\mathbb R$ avec $K$ compact, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.

Théorème : Soit $K$ une partie compacte de $E$ et soit $f:K\to F$ continue et injective. Alors $f$ est un homéomorphisme de $K$ sur $f(K)$, c'est-à-dire une bijection bicontinue de $K$ sur $f(K)$.

Espaces connexes

$(E,d)$ désigne un espace métrique

Théorème et définition : Les assertions suivantes sont équivalentes :
- Si $E=O_1\cup O_2$, avec $O_1,O_2$ deux ensembles ouverts disjoints, alors l'un des deux est vide.
- Si $E=F_1\cup F_2$, avec $F_1,F_2$ deux ensembles fermés disjoints, alors l'un des deux est vide.
- Les seules parties à la fois ouvertes et fermées de $E$ sont l'ensemble vide et $E$ lui-même.
- Toute fonction continue $f:E\to \{0,1\}$ est constante.
Si $E$ satisfait les propriétés équivalentes précédentes, on dit que $E$ est connexe.
Une partie $A$ de $E$ est connexe si l'espace métrique induit $(A,d)$ est connexe.
Théorème : Les parties connexes de $\mathbb R$ sont les intervalles.
Proposition : Si $A_1,\dots, A_n$ sont des parties connexes de $E$ telles que $\bigcap_{i=1}^n A_i\neq \varnothing$, alors $\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe.
Théorème : L'image d'un connexe par une application continue est un connexe.
En particulier, en combinant ce théorème et la caractérisation des connexes de $\mathbb R$, on retrouve le théorème des valeurs intermédiaires.
Soit $A$ une partie de $E$, et $x,y\in A$. On appelle chemin continu tracé dans $A$ de $x$ vers $y$ toute application continue $f:[0,1]\to A$ vérifiant $f(0)=x$ et $f(1)=y$.

Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si, pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin continu de $x$ vers $y$ tracé dans $A$.
Théorème : Si $A$ est connexe par arcs, alors $A$ est connexe. De plus, si $A$ est un ouvert d'un espace vectoriel normé, $A$ est connexe si et seulement si $A$ est connexe par arcs.

Espaces complets, espaces de Banach

$(E,d)$ désigne un espace métrique.

Soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $E$. On dit que $(u_n)$ est une suite de Cauchy si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in \mathbb N,\ \forall q\geq p\geq N,\ d(u_p,u_q)<\veps.$$ On dit que $E$ est un espace métrique complet si toute suite de Cauchy de $E$ converge.
Théorème : $\mathbb R$, $\mathbb C$ sont des espaces métriques complets.
Une partie $A$ de $E$ est complète si l'espace métrique induit $(A,d)$ est complet.
Proposition : Si $E$ est un espace métrique complet et $A\subset E$, alors $A$ est complet si et seulement si $A$ est fermé.
Proposition : Si $E$ est un espace métrique compact, alors $E$ est complet.
Théorème du point fixe : Soit $E$ un espace métrique complet et $f:E\to E$ une application contractante : il existe $k\in [0,1[$ tel que, pour tous $x,y\in E$, $d\big(f(x),f(y)\big)\leq kd(x,y)$. Alors $f$ possède un unique point fixe $\gamma$. De plus, toute suite $(u_n)$ de $E$ définie par $u_0\in E$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers ce point fixe.
Un espace vectoriel normé $E$ est appelé espace de Banach s'il est complet.
Théorème : Dans un espace de Banach, toute série absolument convergente est convergente.

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Théorème : Sur un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

En particulier, si $E$ est de dimension finie, si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $E,$ si $(u_n)$ est une suite de $E$ et si $A$ est une partie de $E$, alors :

$(u_n)$ converge dans $(E,N_1)$ si et seulement si $(u_n)$ converge dans $(E,N_2).$ On dira simplement que $(u_n)$ converge dans $E.$
$(u_n)$ converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge.
$A$ est un ouvert de $(E,N_1)$ si et seulement si $A$ est un ouvert de $(E,N_2).$ On dira simplement que $A$ est un ouvert de $E.$
$A$ est un fermé de $(E,N_1)$ si et seulement si $A$ est un fermé de $(E,N_2).$ On dira simplement que $A$ est un fermé de $E.$

Théorème : Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Corollaire : Toute suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie admet une suite extraite convergente.

Corollaire : Une suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Théorème : Un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach.

Corollaire : Tout sous-espace de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé.

Théorème : Si $E$ est de dimension finie, alors toute application linéaire de $E$ dans $F$ est continue.