Une prpriété du trapèze.[Résolu]

Quelqu'un · 26-04-2008 19:11:04

Bonsoir,

Le plan est muni d'un repère (O;i;j).
On donne les points A(-4;-1), B(2;1), C(-1;4) et D(-4;3).
Les droites (AC) et (BD) se coupent en E et les droites (AD) et (BC) se coupent en F.

Le but de l'exercice estde démontrer que la droite (EF) passe par les milieux des segments [AB] et [CD].

1. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

2. Déterminer une équation de la droit (AC).

3. Déterminer une équation de la droite (BD).

4. En déduire les coordonnées du point E.

5. Déteminer les coordonnées du point F.

6. Déterminer une équation de la droit (EF°.

Merci.

ybebert · 27-04-2008 06:56:24

Bonjour,

Pour bien t'aider on aimerait savoir ce que tu as fait.
As-tu fait le a) ???

A+

Quelqu'un · 27-04-2008 10:41:00

Alors le quadrilatère est un trapèze.

Je ne vois pas comment trouvé deux droites prallèles avec l'énoncé et ma figure.

Désolé et merci.

jeff · 27-04-2008 10:52:05

Bonjour Quelqu'un,

pour la première question il faut calculer les vecteurs AB et DC. En remarquant que AB=2DC (en tant que vecteurs) on peut dire que (AB) est parallèle à (CD).

Quelqu'un · 27-04-2008 11:03:02

Bonjour jeff,

Et cela me suffit a dire que mn quadrilatère est un trapèze ?

Merci

ybebert · 27-04-2008 11:33:25

Un trapéze est un quadrilatere ayant 2 cotés paralléles. Donc, pour répondre à ta derniere question, cela suffit ...
Tu as fait la question 2 ???

A+

Quelqu'un · 27-04-2008 11:42:16

Es ce qu'il faut que je prouve que les deux autres droites ne sont pas parallèles afin de démontrer qu'il sagit bien d'un tapèze et non d'un parallèlogramme ?

Merci.

ybebert · 27-04-2008 11:56:31

Non, c'est pas la peine...

Question 2 c'est ok ?

Quelqu'un · 27-04-2008 12:01:46

Euh oui ca devrait aller.

Je vous donnerai ma réponse juste pour vérifier.

A+

Quelqu'un · 27-04-2008 14:44:27

2. M(x;y) appartient a (AC) : AM (x+4;y+1) et AC(3;5) sont colinéaires.

3(y+1)=5(x+4)
3y+3=5x+20
3y=5x+17
y=5/3x+17/3

Une équation de (AC) est donc y=5/3x+17/3.

Es ce le bon résulatat ?

jeff · 27-04-2008 16:00:59

Bonjour,

le résultat est juste ainsi que le raisonnement.

Quelqu'un · 27-04-2008 17:08:43

Merci je passe à la question 3.

Quelqu'un · 01-05-2008 10:22:12

Bonjour,

Je trouve donc y=-1/3x+5/3 pour une équation de (BD).
Es ce exact ?

Ensuite je n'arrive pas a résoudre mon système.
Pouvez vous m'aider ? ? SVP

Merci.

jeff · 01-05-2008 10:35:39

Bonjour Quelqu'un ,

je trouve pour l'équation de (BD) : y=-x/3+5/3 qui est aussi ton résultat.
(AC) et (BD) se coupent en E donc E vérifie les équations de (AC) et (BD) ie yE=5/3xE+17/3
yE=-1/3xE+5/3

Il est alors clair que 5/3xE+17/3=-1/3xE+5/3 soit encore 2xE=-4 donc xE=-2.
En remplaçant xE par sa valeur dans une des 2 équations on trouve yE=-1/3*(-2)+5/3=7/3.
Ainsi E=(-2,7/3).

Quelqu'un · 01-05-2008 10:43:38

Bonjour et merci de me répondre aussi vite,

Seulement, ceci n'est pas un système ?
J'ai bien trouvé ces deux résultats mais je dois les touver en résolvant un sytème.

Merci de ta patience.

jeff · 01-05-2008 11:07:27

Bonjour,

ceci est un système de 2 équations à 2 inconnues. On peut le réécrire : y-5x/3=17/3 (L1)
y+x/3=5/3 (L2)

En faisant (L1)-(L2) ona y-5/3x-y-x/3=17/3-5/3 soit -2x=4...

Quelqu'un · 01-05-2008 14:33:48

Bonjo, je suis désolé mais je suis en seconde et je ne comprends pas vraimet la méthode que vous employez.

J'ai appris un résoudre sois par substitution soit par combinaison.

Donc encore désolé mais j'aimerai juste un peu plus de clarté pour un jeune élève comme moi qui ne comprend rien

Merci d'avance.

Quelqu'un · 01-05-2008 15:07:57

C'est bon j'ai trouvé merci pour tout jeff

yoshi · 01-05-2008 15:12:58

Bonjour,

La méthode décrite par Jeff est une forme de résolution par substitution. Du temps où les équations de droites et le calcul des coordonnées du poiint d'intersection éventuel étaient encore du programme de Collège, c'était monnaie courante.
Quand j'étais, moi, Lycéen on faisait précéder ce calcul de la petite annonce suivante : "Ecrivons l'équation aux abscisses"...
Si tu ne comprends pas bien ce que Jeff t'a expliqué, peut-être n'as-tu pas bien compris ce qu'est l'équation d'une droite (et de toute courbe en général) ?
L'équation d'une droite, c'est la relation qui lie l'abscisse x et l'ordonnée y de n'importe quel point de cette droite ? Autrement dit, cette équation de droite", cette relation permet de calculer l'ordonnée de n'importe quel point de la droite connaissant son ordonnée et vice-versa...
Donc, si je dis qu'une équation de droite est y = 2x-3, le point de cette droite d'abscisse 2 a pour ordonne 2*2-3 = 1... ok ?
Le point de cordonnées (1/2 ;-2) est-il sur cette droite ? 2*1/2-3 = 1-3 = -2. On dit que "les coordonnées du point vérifient l'équation de la droite". Le point est donc sur la droite.
Le point de cordonnées (3/2 ;1/2) est-il sur cette droite ? 2*3/2-3 = 3-3 = 0. Or, l'ordonnée du point considéré est 1/2 et non 0.On dit que "les coordonnées du point ne vérifient pas l'équation de la droite". Le point n'est donc pas sur la droite.

Revenons à nos moutons, c'est à dire à ton énoncé. Les équations de droite calculées sont :
[tex]\left{(AC)\;y={5 \over 3}x+{17 \over 3}\\(BD)\;y={-}{1 \over 3}x+{5 \over 3}[/tex]
Si ces droites se coupent en point E, il doit être clair maintenant que :
- les coordonnées du point E vérifient l'équation de la droite (AC) (1)
- les coordonnées du point E vérifient l'équation de la droite (BD) (2)
Autrement dit étant donnée l'abscisse x de E, calculer son ordonnée y avec (1) ou avec (2) donnerait le même résultat.
Adoncques (comme disait Rabelais) tu as deux inconnues x et y qui sont solution de :
[tex]\left{y={5 \over 3}x+{17 \over 3}\;(1)\\y={-}{1 \over 3}x+{5 \over 3}\;(2)[/tex]
et si ça, ça ne peut pas s'appeler un système de deux équations à 2 inconnues, alors comment appeler ça ?

La résolution est une forme de substitution où le travail t'a été mâché. En effet, on tire y en fonction de x dans l'équation (1) : tant mieux, il n'y a rien à faire, c'est déjà fait --> y = 5/3x + 17/3, et on substitue à y dans l'équation (2) son expression en fonction de x trouvée précédemment.
D'où :
5/3 x+17/3 = -1/3 x + 5/3

Est-ce que c'est plus clair ?

@+

[EDIT] Tu as reposté avant que je n'en termine... Désolé si ça ne te sert pas...

Quelqu'un · 01-05-2008 16:27:43

Oui merci beaucoup.
Pouvez vous juste me dire les coordonnées de E que je dois trouver et celle de F au passage ?

Merci encore.

jeff · 01-05-2008 17:12:09

Bonsoir,

j'ai trouvé :
- pour E : (-2 ; 7/3) ;
- pour F : (-4 ; 7).
Et bonne continuation dans ton exercice.

Quelqu'un · 03-05-2008 09:00:04

Merci deton aide précieuse, je dois rendre mon devoir lundi et j'ai trouvé ces résultats.

Merci et bonne continuation a ce forum

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