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Physcitech

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Analyse complexe

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien ! J'ai quelques soucis avec cet exercice, voici l'énoncé :

Soit f une fonction holomorphe et bornée sur $S = \{ Re z > |Im z| \}$ telle que $f(\sqrt{n}) = 0$ $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que $f = 0$

J'aimerais utiliser le critère de Blaschke qui dit que pour f holomorphe et bornée non nulle sur $\mathbb{D}$ on a $\sum_{(n_{a},a) \in N}n_{a}(1 - |a|) < \infty $ où N est la distribution de zéros de f. Mon but est donc de montrer que la somme est infinie pour en conclure que f est nulle. Le problème est que f n'est pas définie sur $\mathbb{D}$. J'ai néanmoins démontré dans un autre exercice du cours que $S$ et $\mathbb{D}$ étaient biholomorphiquement équivalent mais je n'arrive pas à avancer. Merci d'avance de votre aide !

Michel Coste

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Re : Analyse complexe

Bonjour,

C'est évidemment une bonne idée d'utiliser ce critère pour le disque unité. Qu'est-ce qui te bloque ?
Tu as un biholomorphisme de [tex]S[/tex] sur le disque unité (prends le plus simple possible), et tu as donc la distribution des zéros dans la transportée de [tex]f[/tex] sur le disque unité.
Ça roule tout seul.

Physcitech

Invité

Re : Analyse complexe

Bonjour,

Qu'entendez vous par le plus simple possible ? Parce que mon biholomorphisme est un peu compliqué.
J'ai justement du mal à voir quelle est la distribution de zéros de la transporté de f sur le disque unité.
En admettant que note $\phi : S \rightarrow \mathbb{D}$ le biholomorphisme, est-ce que la transporté est $\phi \circ f \circ \phi^{-1} : \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ ?

Michel Coste

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Re : Analyse complexe

Par "le plus simple possible", j'entends le plus simple possible. Et oui, la transportée est bien ce que tu écris.
C'est quoi, le biholomorphisme que tu as ?
Si tu as une expression explicite de ce biholomorphisme, alors tu as une expression explicite de la distribution des zéros de la transportée (les images des [tex]\sqrt{n}[/tex] par le biholomorphisme), et donc tu peux utiliser sans problème le critère de Blaschke. Encore une fois, qu'est-ce qui te bloque ? Vas-y !

Physcitech

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Re : Analyse complexe

J'ai $\phi(z) = \frac{1 - z^{2}}{1 + z^{2}}$ donc $\phi(\sqrt{n}) = \frac{1-n}{1+n}$ sont les zéros de la transportés ? Pourtant $\phi \circ f \circ \phi^{-1} \circ \phi(\sqrt{n}) = \phi \circ f (\sqrt{n}) = \phi(0) = 1 \neq 0$ ? Est ce que j'ai mal compris quelque chose ?

Michel Coste

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Re : Analyse complexe

Non, désolé, j'ai mal lu ta définition de la transportée.
La transportée de [tex]f: S\to \mathbb C[/tex], c'est [tex]f\circ \phi^{-1} : D\to \mathbb C[/tex].
[tex]\phi[/tex] n'a aucune raison d'être défini sur l'image de [tex]f[/tex].

Physcitech

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Re : Analyse complexe

Du coup  j'en ai déduis que $M =\{ (\frac{1-n}{1+n}, 1) \} \subset N \{ a_{i}, i \} $ et donc $\sum^{\infty}_{n=1}1+\frac{1-n}{1+n} = \sum^{\infty}_{n = 1}\frac{2}{1+n} = \infty \leq \sum_{(a_{i},i) \in N}i(1-|a_{i}|)$ donc d'après le critère de Blaschke f = 0. Merci beaucoup !