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Armin

Invité

Rang d’une matrice

Bonjour,
J’ai vu dans un exercice que pour M,Q deux matrices quelconques on a vair rg(MQ)=<rg(M) mais je ne comprends pas pourquoi.
Pouvez vous m’expliquer ?
Merci d’avance

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Rang d’une matrice

Bonjour,

  La façon la plus naturelle de démontrer cette propriété, c'est d'utiliser l'interprétation du rang d'une matrice comme le rang de l'application linéaire qui lui est canoniquement associée.

Si $u:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ est l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est $M$,
et si $v:\mathbb R^p\to\mathbb R^m$ est l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est $Q$, alors
on a rg(M)=rg(u), rg(Q)=rg(v) et rg(MQ)=rg(uov). Il suffit donc de prouver que rg(uov)<=rg(u).
Mais ceci vient du fait que l'on a toujours $\textrm{Im}(u\circ v)\subset \textrm{Im(u)}$, ce qui est clair d'après la définition de l'image.

F.