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Yubi

Invité

Question détermination des fonctions

Bonjour ,
J'ai la question suivante :
Trouver toutes les fonctions de classe C1 définie sur R qui vérifient :
f(x+y) = f(x) + f(y) + f(axy)
Quelqu'un peut m'aider s'il-vous-plaît.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Question détermination des fonctions

Bonsoir Yubi,

  Ta question manque de précision : qui sont $x$, $y$ et $a$? Plus précisément, quels sont les quantificateurs qu'il faut mettre sur $x$, $y$ et $a$? Est-ce que l'énoncé est bien : soit $a\in ....$ (je ne sais pas dans quel ensemble vit $a$). Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ vérifiant :
$$\forall x,y\in\mathbb R,\ f(x+y)=f(x)+f(y)+f(axy).$$

Si c'est bien l'énoncé, alors je te conseille de faire un raisonnement par analyse/synthèse. Tu supposes qu'une telle fonction existe puis tu essaies d'obtenir des conditions nécessaires sur cette fonction.
Pour cela, on peut commencer par dériver par rapport à $x$ (en supposant que $y$ est constant), puis faire $x=0$ par exemple. Tu devrais trouver une formule beaucoup plus simple pour $f'(y)$.

F.