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Kolnim

Invité

Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour,
J'aimerais savoir pourquoi la fonction indicatrice est intégrable au sens de lebesgue .
Merci.

Paco del Rey

Invité

Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonsoir Kolnim.

Il y a autant de fonction indicatrices qu'il y a de sous-ensembles de $\mathbb R$.
Certaines  de ces fonctions indicatrices sont intégrables au sens de Lebesgue, les autres, non.

Il faut être plus précis.

Paco.

bridgslam

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour Kolnim,

C'est un peu loin, mais il me semble qu'un fonction indicatrice d'une partie mesurable est Lebesgue-intégrable par définition, à l'instar des fonctions en escaliers sur un segment pour l'intégrale de Riemann.
Son intégrale est alors la mesure de la partie.

A.

Bernard-maths

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour à tous !

Vous remuez là de vieux souvenirs ... plutôt oubliés.

Je pense à la fonction indicatrice de la restriction de l'ensemble Q sur par exemple [0 ; 1].

Quelle différence entre Riemann et Lebesgue ?

Merci .. Bernard-maths

Paco del Rey

Invité

Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour bridgslam.

Pour toi, la fonction indicatrice de $\mathbb R$ est intégrable sur $\mathbb R$ ?

Paco.

bridgslam

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour Paco,

Oui, on ne dit pas dans la définition qu'elle doit être de valeur finie et $\mathbb{R}$ fait bien partie des boréliens, donc possède une mesure
(non finie pour la mesure de Lebesgue).
Mais je le répète, c'est loin... mais cela semble cohérent avec l'angle de vue sur wikipédia.
De mémoire il y a une nuance entre intégrabilité et valeur d'intégrale ( qui doit être finie).
De mémoire aussi, ce n'est pas pour rien si une mesure est à valeur dans $[0, +\infty ]$
Mais tu es sans plus compétent que moi en la matière.
Mes chevaux de bataille sont plus sur la combinatoire, dénombrements...

Au final tu dois avoir raison (c'est le contraire):
L'intégrale est définie si le support de la fonction indicatrice est mesurable ( et de valeur la mesure, infinie ou pas, de ce support) ,  mais intégrable au sens de Lebesgue si cette valeur est finie.
La fonction indicatrice sur $\mathbb{R}$ possède donc une valeur d'intégrale, mais n'est pas intégrable.

Mea culpa et merci Paco pour la correction.
N' hésites pas à reprendre les autres erreurs fatales ou imprécisions tous domaines confondus (et tous auteurs... :) dont je fais évidemment partie )

Alain

Dernière modification par bridgslam (03-01-2022 13:31:59)

Bernard-maths

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour à tous !

Et ma fonction indicatrice ? Qui vaut 1 sur Q inter [0 ; 1], et 0 sur (IR - Q) inter [0 ; 1] !?

Riemann dit-il 0 ? Et Lebesgue 1 ? Il est vrai que Q est dense dans IR ...

Et encore ne vous ai-je point parlé de l'autre fonction indicatrice, celle de IR - Q, sur [0 ; 1] ... selon Lemann ou Riebesgue ???

Et à ce propos, IR - Q est-il dense dans IR ???

Bon, j'attend car je n'ai pas de réponse justifiée, et mes études trop lointaines ! ... Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-01-2022 13:55:48)

bridgslam

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour Bernard-maths,

En ce qui concerne Riemann vs Lebesgue, il y a beaucoup de différences, difficile de résumer en quelques lignes.
A mon sens les plus significatives sont celles-ci:

- L'ensemble de départ est essentiellement $\mathbb{R}$ pour Riemann, une tribu mesurée pour Lebesgue (d'où le gros intérêt en probas)
- les fonctions en escaliers sur un segment pour Riemann, les fonctions étagées  pour Lebesgue,  sont les briques de base pour définir l'intégrale puis l'intégrabilité pour Lebesgue, le contraire pour Riemann
- les images directes sont prépondérantes pour Riemann, les images réciproques pour Lebesgue ( aux propriétés bien plus souples)
- celle de Lebesgue généralise celle de Riemann
- l'infrastructure pour définir celle de Lebesgue est par-contre plus lourde que celle de Riemann.

Après il y a aussi celle de Kurzweil- Henstock qui se base sur $\mathbb{R}$ mais en généralisant les deux autres, avec un système de jauge sans incohérence logique grâce au lemme de Cousin.

Pour la question sur la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ sur [0,1] on démontre qu'elle n'est pas intégrable-Riemann mais au sens le Lebesgue elle vaut 0, à savoir la mesure de Lebesgue de  $\mathbb{Q}$ (elle vaut zéro "presque-partout" ). Ce fait permet d'en  percevoir l'intérêt.

A noter que si Riemann disait zéro et Lebesgue 1, on aurait un gros souci... toute fonction Biemann- intégrable étant Rebesgue-intégrable et de même valeur.
Paco pourra sans doute confirmer (ou pas) mes propos...

A.

Dernière modification par bridgslam (03-01-2022 14:41:58)

Bernard-maths

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour bridgslam !

merci pour ces rappels ! Si j'ai bien compris, au sens de Lebesgue, l'intégrale de Id(Q) sur [0 ;1] vaut 0,
mais celle de Id(IR - Q) vaudra 1.

Bonne journée, Bernard-maths

bridgslam

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Re : Intégrabilité au sens de lebesgue de la fonction étagée

Bonjour,

En fait pour moi il y a principalement deux à trois catégories de sujets sur ce forum.

  - celles qui touchent à des objets mathématiques particulièrement élaborés, mesure, distributions, tenseurs etc et où le bagage ad hoc est une nécessité quasi-absolue pour s'en sortir
  - celles qui touchent à des connaissances plus basiques, avec des sujets parfois tout de même difficiles, mais résolubles toujours sans gros arsenal en coulisse.
- celles résolubles en deux coups de cuiller à pot ou presque avec l'appui de connaissances évoluées, mais aussi faisables sans ces moyens, de façon généralement évidemment plus laborieuse.

Après des passages répétitifs et plus ou moins réguliers sur ce site, je constate que pour les deux dernières catégories cela semble soulever parfois d'énormes difficultés et "fausses routes" quel que soit le  bagage des auteurs, malgré des solutions accessibles avec une réflexion poussée.
Pour la première catégorie, on n'a effectivement pas tous un niveau au Nirvana, ou bien vu ces notions il y a bien longtemps, et les souvenirs peuvent faire défaut ou s'être énormément flouté...
Bref de quoi s'amuser dans tous les cas...

Merci, et bonne nouvelle année!

A.