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Werner Franck

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Densité dans R

Bonjour tout le monde, dans le cadre d'un DM sur les sous-groupes de R, j'aimerais étudier la forme de G = αZ + βZ un sous-groupe de R (α,β des réels non nuls) tel que α/β soit irrationnel. D'après ce qui a été établis jusque là:
- soit G = cZ avec c un réel strictement positif
- soit G est dense dans R

J'ai montré que si α/β est rationnel alors α,β sont rationnels et G est de la forme G = cZ.

Je suppose alors que certainement si α / β est irrationnel, donc α ou β irrationnel, alors G est dense dans R.
Il faudrait que j'arrive à montrer que quelques soient x , y des réels tels que x < y. Il existe un élément z de G tel x < z < y.

Je sais que z est irrationnel. Si j'arrive à montrer que G = R\Q, alors c'est gagné.

Une inclusion est immédiate mais comment montrer que pour tout irrationnel i, il existe (p,q) dans Z tels que αp + βq = i.
Et surtout, est-ce le bon chemin à emprunter ou ma supposition est-elle fausse ?

Merci beaucoup de vos réponses.

Dernière modification par Werner Franck (30-12-2021 15:31:08)

Werner Franck

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Re : Densité dans R

Ah non c'est bon finalement il y avait des indications dans le DM et je m'en suis sortis. De plus "J'ai montré que si α/β est rationnel alors α,β sont rationnels et G est de la forme G = cZ." est faux car si α=β=racinecarrée(2) alors α/β est quand même un rationnel.

Donc la méthode est de montrer que  α/β est rationnel si et seulement si G est un sous groupe discret de R et après pas besoin d'utiliser l'irrationnalité ou quoi que ce soit.

Merci quand meme.