Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Amir

Invité

Théorème de bezout

Bonjour,
J’ai vu que l’ensemble des couples d’entier relatif (u,v) solution de au+bv= 1 était l’ensemble des couples de la forme (u0+kb,v0-ka).
J’ai essayé de trouver une démonstration de cela sans succès.
Pouvez vous me dire comment procéder?

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Théorème de bezout

Bonjour,
je suppose que le couple  $(u_0,v_0)$ est solution de cette équation ?

Amir

Invité

Re : Théorème de bezout

Oui c’est bien cela

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Théorème de bezout

re,
Tu peux développer et simplifier cette expression : $a(u_0+kb)+b(v_0-ka)$ et compte tenu de ta réponse au post précédent en déduire sa valeur puis conclure.

Dernière modification par Zebulor (22-12-2021 16:17:37)

Amir

Invité

Re : Théorème de bezout

Alors j’ai développé et je trouve bien que cela fait 1 mais sauf erreur de ma part cela montre juste que les couples de cette forme sont bien solution mais cela ne montre pas que toute solution est de cette forme

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Théorème de bezout

Bonjour,
je n'avais pas vu cette subtilité. Cela me fait penser à une autre discussion intitulée " solution de l équation homogène d'une équation différentielle" ..
Je me demande s'il ne faut pas aller chercher du côté du théorème de Gauss.. je n'en sais pas beaucoup plus sur la question.

Dernière modification par Zebulor (23-12-2021 10:03:11)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 901

Re : Théorème de bezout

Bonjour à tous !

Ne manque-t-il pas une condition sur a et b : 1ers entre eux, par exemple ?

Ca aide !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-12-2021 11:48:24)

Amir

Invité

Re : Théorème de bezout

Effectivement j’ai oublié de précisé que a et b sont premiers entre eux désolé

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 901

Re : Théorème de bezout

Bonsoir !

A exploiter donc !