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Lionel3827

Invité

Elements propres d'une matrice

Bonsoir,
Les éléments propres d'une matrice sont définis comme les éléments propres de l'endomorphisme canoniquement associé. Comment montrer alors que les éléments propres d'une matrice M sont ceux de tout endomorphisme représenté par M dans une base B quelconque de E ?
Aussi, en particulier, que deux matrices semblables ont mêmes éléments propres ?
Merci

Fred

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Re : Elements propres d'une matrice

Bonjour,

  Qu'appelles-tu exacement éléments propres.
Pour démontrer que deux matrices semblables ont même valeurs propres, voici comment procéder : si $A=PBP^{-1}$, et si $\lambda$ est une valeur propre de $B$, il existe $v\neq 0$ tel que $Bv=\lambda v$. Posons $w=P v$. Alors $w\neq 0$ (car $P$ est inversible), et
$A w=PBP^{-1}Pv=PBv=\lambda Pv=\lambda w$.

F.

Lionel3827

Invité

Re : Elements propres d'une matrice

Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
Les éléments propres désignent les valeurs propres et vecteurs propres.
On démontre donc que deux matrices semblables ont mêmes valeurs propres, et cela démontre également qu'elles ont mêmes vecteurs propres.

Maintenant, on démontre que λ est valeur propre de A si et seulement si λ est valeur propre de n'importe quel endomorphisme représenté par A dans une base quelconque (On montre que (A -  λ Id) est non inversible).

En revanche, en partant de la définition de  u vecteur propre de A (cela signifie que  u est vecteur propre de l'application canoniquement associée), je ne parviens pas à montrer que  u est vecteur propre de n'importe quel endomorphisme représenté par A dans une base quelconque.

Merci.

Fred

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Re : Elements propres d'une matrice

Re-

  Avec les vecteurs propres, il faut faire attention à ce qu'on dit et ce qu'on fait.
Par exemple, dans la démonstration que je t'ai donné, $A$ et $B$ sont semblables,
elles ont les mêmes valeurs propres, mais rien ne dit qu'elles ont les mêmes vecteurs propres
(puisque j'ai prouvé que si $v$ est un vecteur propre de $B$, $Pv$ est un vecteur propre de $A$, mais je n'ai pas prouvé - et c'est faux en général, que $v$ est un vecteur propre de $A$).

Lorsque tu parles d'endomorphisme et de matrices, tu dois faire attention à ce que tu ne considères pas des objets définis sur un même ensemble. Si $f$ est un endomorphisme de $E$ et si $A$ est sa matrice dans une base quelconque, un vecteur propre de $f$ est un élément de $E$, un vecteur propre de $A$ est un élément de $\mathbb R^n$, donc en général ça ne veut rien dire qu'un vecteur propre de $f$ est un vecteur propre de $A$ (suppose par exemple que $E$ est un espace de polynômes par exemple).

Le passage de l'un à l'autre vient par les coordonnées de $u$ : si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées de $u$ dans la base choisie, alors $AX$ est le vecteur colonne des coordonnées de $f(u)$ dans la base $B$. Et donc on a $f(u)=\lambda u\iff AX=\lambda X$.
C'est en cela qu'on peut dire que les éléments propres de $f$ et de $A$ sont les mêmes, en identifiant un vecteur $u$ de $E$ et le vecteur colonne de ses coordonnées.

F.

Lionel3827

Invité

Re : Elements propres d'une matrice

Merci beaucoup.

Ma question est alors la suivante : si A est la matrice de f dans une base B, mais est aussi la matrice de g dans une base B' ; est ce que f et g ont mêmes vecteurs propres ?

Aussi; lorsque A et B sont semblables, ces matrices représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes donc pourquoi n'auraient-elles pas mêmes vecteurs propres ?

Lionel3827

Invité

Re : Elements propres d'une matrice

Ps : Je ne comprends pas pourquoi alors il est précisé dans mon cours que les vecteurs propres d'une matrice sont ceux de n'importe quel endomorphisme représenté par A dans une base quelconque

Fred

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Re : Elements propres d'une matrice

Je sens que je ne t'ai pas convaincu, alors je vais essayer d'être explicite : considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R_2[X]$ définie par $f(P)=(X^2-1)P'-(2X+1)P$. Alors la matrice de $f$ dans la base $(1,X,X^2)$ de $\mathbb R_2[X]$ est
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
-1&-1&0\\
-2&-1&-2\\
0&-1&-1
\end{array}\right).$$
Considère maintenant $g$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par
$$g(x,y,z)=(-x-y,-2x-y-2z,-y-z).$$
Alors la matrice de $g$ dans la base canonique de $\mathbb R^3$ est aussi $A$.

Les applications linéaires $f$ et $g$ ont donc, chacune dans une certaine base, la même matrice qui les représente.
Elles ont les mêmes valeurs propres. En revanche, ça n'a aucun sens de dire qu'elles ont les mêmes vecteurs propres : un vecteur propre de $f$ est un polynôme, un vecteur propre de $g$ est un élément de $\mathbb R^3$.
Ce qui est vrai, c'est que si le vecteur colonne $X=\left(\begin{array}c a\\b\\c\end{array}\right)$ est un vecteur propre de $A$, alors :
1. le polynôme a$+bX+cX^2$ est un vecteur propre de $f$
2. le vecteur $ae_1+be_2+ce_3$ est un vecteur propre de $g$.

Relis à la lumière de cet exemple mon message précédent.

F.

Lionel3827

Invité

Re : Elements propres d'une matrice

Merci beaucoup, c'est compris.