Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Treillis de groupe

Bonsoir svp je voudrai déterminer le treillis du groupe diédral D4 et déjà je n'arrive même pas a déterminer tout ses sous groupes

Paco del Rey

Invité

Re : Treillis de groupe

Bonsoir.

Peux-tu rappeler la définition de $D_4$. En particulier, quel est son ordre ?

Paco.

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : Treillis de groupe

D4 est d'ordre 8 engendré par a=(1234) et b=(24) avec bab=a^(-1)
En fait c'est le groupe des symétrie du carré qu'on peux identifié a un sous groupe de S4

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Treillis de groupe

Bonjour,

Tu peux déterminer le treillis des SG, en partant des générateurs, et en augmentant leur cardinal. C'est le procédé infaillible, décrit par exemple dans le bouquin d'arithmétique de Georges et Nicole Gras, bien fourni.

Alain

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : Treillis de groupe

Merci bien

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Treillis de groupe

Bonjour,

Sauf erreur on en trouve 10 (*).
{id}, D lui-même, {id, Sym(O)=R(O, pi} , le sous-groupe des rotations (à 4 éléments) , les 4 s-g à deux éléments constitués du neutre et de l'une des 4 symétries axiales, et enfin les deux sous-groupes engendré par une paire de deux symétries orthogonales et Sym(O).

(*)Un moyen sûr de vérifier le nombre de sous-groupes d'un groupe diédral à 2n éléments (ici n=4, 4 rotations, 4 symétries axiales):
on ajoute le nombre de diviseurs (positifs) de n ( ici 3 avec 1,2,4) et la somme de ces mêmes diviseurs ( ici 7 = 1 + 2 + 4).
On trouve bien 10 = 3 +7  dans ton exercice.
Cela permet de vérifier en tous cas que ça a de bonnes chances d' être juste ( un peu comme la preuve par 9).
C'est par-contre forcément faux si on n'a pas le bon compte...

Enfin un diagramme pour le treillis du plus petit au plus gros en montant:
https://www.cjoint.com/c/KKtkZPAHwgg

Alain

Dernière modification par bridgslam (19-11-2021 11:55:20)

pentium mix

Membre

Inscription : 27-10-2020

Messages : 161

Re : Treillis de groupe

Bonjour,

Sauf erreur on en trouve 10 (*).
{id}, D lui-même, {id, Sym(O)=R(O, pi} , le sous-groupe des rotations (à 4 éléments) , les 4 s-g à deux éléments constitués du neutre et de l'une des 4 symétries axiales, et enfin les deux sous-groupes engendré par une paire de deux symétries orthogonales et Sym(O).

(*)Un moyen sûr de vérifier le nombre de sous-groupes d'un groupe diédral à 2n éléments (ici n=4, 4 rotations, 4 symétries axiales):
on ajoute le nombre de diviseurs (positifs) de n ( ici 3 avec 1,2,4) et la somme de ces mêmes diviseurs ( ici 7 = 1 + 2 + 4).
On trouve bien 10 = 3 +7  dans ton exercice.
Cela permet de vérifier en tous cas que ça a de bonnes chances d' être juste ( un peu comme la preuve par 9).
C'est par-contre forcément faux si on n'a pas le bon compte...

Enfin un diagramme pour le treillis du plus petit au plus gros en montant:
https://www.cjoint.com/c/KKtkZPAHwgg

Alain

Merci bien