Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Waad

Invité

Projecteur et somme directe

Bonsoir,
Ma question est la suivante :
On montre facilement que si p est un projecteur de L(E), E = Im p ¤ Ker p , ¤ désignant la somme directe.
La réciproque est-elle vraie ?
J'ai conjecturé que oui mais je ne parviens pas à le démontrer.
Merci de votre aide.

Paco del Rey

Invité

Re : Projecteur et somme directe

Bonsoir Waad.

Soit \( f \) un endomorphisme de \( E \) (de dimension finie) bijectif.

Que peux-tu dire de l'image et du noyau de \( f \) ?

Paco.

Waad

Invité

Re : Projecteur et somme directe

Bonsoir,
Merci pour votre réponse.

Comme Ker f est réduit à 0 et Im f est E tout entier, ils sont bien supplémentaires. Et f ne vérifie pas forcément f² = f (prendre f = 2I).
Cela montre donc que la réciproque est fausse !

Si on rajoute maintenant l'hypothèse que Ker u et Im u sont supplémentaires dans E et que u n'est pas bijective, u est-elle alors forcément un projecteur ?

Paco del Rey

Invité

Re : Projecteur et somme directe

Tu as pratiquement répondu à ta propre question.

Que se passe-t-il si \( f = 2p \) lorsque \( p \) est une projection ?

Paco.

Waad

Invité

Re : Projecteur et somme directe

Merci beaucoup.
J'aurais mieux fait de réfléchir plus longuement !