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Quentintin

Invité

Matrice d'endomorphisme

Bonsoir!
j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Soit V un espace vectoriel de dimension finie n+1 et f un endomorphisme de V
tel que $f^{n+1}$ soit l'endomorphisme nul sans que $f^{n}$ le soit. Demontrer qu'il existe un vecteur y dans V tel que
$B = (y; f(y); f^{2}(y); ...; f^{n}(y))$
soit libre. Quel est la matrice de f dans la base $B$ ?

La première question ne me pose pas de soucis, c'est la deuxième: je ne sais pas comment remplir cette matrice car je ne sais pas qu'elle base de départ prendre!

Roro

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Re : Matrice d'endomorphisme

Bonjour,

Si j'en crois ton énoncé, la base de départ est la même que celle d'arrivée, il s'agit de B.

Pour écrire cette matrice, tu dois donc exprimer, pour chaque $i$, la quantité $f(f^{i}(y))$ en fonction des $(y,f(y),...,f^{n}(y))$ ce qui ne me semble pas infaisable !

Roro.

Quentintin

Invité

Re : Matrice d'endomorphisme

bonjour

C'est ce que j'avais commencé à faire. Je me suis donc retrouvé avec une matrice remplie de zéros sauf sur la diagonale inférieure
($a_{i,j} = 1 si i-1 = j$)

Sauf que dans le corrigé de l'exercice, on me dit que la matrice est la matrice nulle sauf pour la diagonale supérieure ($a_{i,j} = 1 si i+1 = j$)

comme les matrices associées aux endomorphismes m'ont longtemps embrouillées, j'ai posé la question pour savoir qui a raison

Quentin

Roro

Membre expert

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Re : Matrice d'endomorphisme

Bonjour,

C'est peut être une question de convention mais je suis plutôt d'accord avec toi.

Roro.