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ValG

Invité

Sous groupe isolé admet un point isolé

Bonjour à tous,
Voilà mon problème : je dois montrer l'implication suivante, sachant que (G, +) est un sous groupe de (R,+) qui n'est pas réduit à {0}.

G admet un point isolé => [tex] \exists \epsilon > 0 : \forall g\in G, B(g,\epsilon) \cap G = \{ g \}[/tex]

J'ai vu beaucoup de démonstration dans le cas où le point isolé considéré est 0 mais que faire dans le cas général.

Merci en avance pour votre aide !

Fred

Administrateur

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Re : Sous groupe isolé admet un point isolé

Bonjour,

  Connais-tu le théorème suivant de structure des sous-groupes de $\mathbb R$ : un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ est ou bien dense dans $\mathbb R$, ou bien de la forme $a\mathbb Z$.

F.

bridgslam

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Re : Sous groupe isolé admet un point isolé

Bonsoir,

Par la méthode de la cougar masquée, par translation de -g, sachant que G-g = G tu te ramènes au cas g=0.

▼détails

[tex]\vert x-g \vert \lt \epsilon \;et\; x \in G  [/tex]
équivaut à la même assertion en remplaçant x par x-g et G par G-g=G dans la relation d'appartenance, et tu appliques le résultat connu en 0.

Alain

Dernière modification par bridgslam (24-10-2021 09:33:40)