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cédric

Invité

[Résolu] normes et équivalences

Ce DM me pose beaucoup de problème dès la première question j'espère que quelqu'un va pouvoir m'aider!

Soient I=[0,1], h une application continue de I dans I et ||.|| une norme sur E=C(I,R)
On définit Nh(f)=||f o h|| pour tout f appartenant à E.
On note ||.||1 (1 étant en indice) la norme ||f||1=intégrale de 0 à1 |f(t)|dt

1ère question:
A quelle condition sur h, Nh définit -elle une norme sur E?

2ième question:
On suppose que h est de classe C 1 sur I, surjective, avec h'(t)>0 pour tout t appartenant à I.
Montrer que l'on a:  intégrale de 0à1 |f(h(t))|*h'(t) dt =||f||1
Et en se servant de l'égalité obtenue il faut montrer que les normes ||.||1 et Nh sont équivalentes

3ième question:
Sous les hypothèses de la question 2, l'application u de (E,Nh) dans R définit par u(f)=intégrale de 0à1 f(t)dt est -elle continue?

pour l'instant je n'ai plus d'autres questions en vue merci de bien me répondre c'est important pour moi

cédric

Invité

Re : [Résolu] normes et équivalences

personne peut m'aider s'il vous plait??

J2L2

Invité

Re : [Résolu] normes et équivalences

Pour que ce soit une norme, il est nécessaire que intégrale de 0 à 1 |foh(t)|dt=0

implique f=0. Or, une intégrale nulle d'une fonction positive continue ne peut l'être

que si cette fonction est nulle.

Donc foh=0 (ou : f(h(x))=0 pour tout x de I) implique f=0. Or cette implication ne

peut avoit lieu que si f(x)=0 pour tout x de I, donc h(x) devra prendre toutes les

valeurs de I. En d'autres termes, h est surjective.

cédric

Invité

Re : [Résolu] normes et équivalences

Peux tu aussi maider pour la question 2 J2L2?
merci de ta réponse précédente très claire

cédric

Invité

Re : [Résolu] normes et équivalences

s'il vous plait je voudrais avoir un réponse c'est très important!!

cédric

Invité

Re : [Résolu] normes et équivalences

est ce que je pourrais avoir une réponse a la question 3 s'il vous plait car je bloque dessus depui hier merci beaucoupde votre aide