Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Un train pas comme les autres.

salut.

Un train part de A en passant par les villages C & D sans s'arreter pour se rendre au terminus D .

- Les distances AB , BC & CD  sont égales.

- Il part donc de A en accélérant de [tex]0.5m.s^{-2}[/tex] jusqu'à atteindre sa vitesse maximum au bout de 1min 40s et il aura alors parcouru le soixantième  de AB
- jusqu'en B , sa vitesse reste constante.
- Arrivé en B  , le parcours BC étant un peu spécial , le chauffeur fait appel à un calculateur de bord qui impose une vitesse décroissante de telle sorte que , en tout point M appartenant à BC ,  V = (MC+30) km/h  .
- Lorsqu'il passe en C , il reprend le control de sa machine et la relance avec la même accélération de [tex]0.5m.s^{-2}[/tex] jusqu'à atteindre sa vitesse maximale . Il roule ainsi à cette vitesse jusqu'à un panneau repéré sur la voie qui lui signifie qu'il faille lancer le processus de décélération toujours de [tex]0.5m.s^{-2}[/tex] de telle sorte que le train s'arrete en D.

Question: quelle fut la durée du trajet AD ?

                                                                                                     bon voyage.

n.b  j'avais omis un détail que j'ai souligné

Dernière modification par jpp (08-12-2013 13:06:44)

freddy

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Re : Un train pas comme les autres.

Salut,

▼une idée ...

en réalité, le début du problème permet de le résoudre intégralement puisqu'il est dit que les 3 distances sont égales. Donc en véhicule qui démarre à l'origine avec une vitesse nulle, est soumis à une accélération constante comme indiqué, a parcouru au moment où sa vitesse est stabilisée une distance  [tex]d= \frac12\times (0.5)\times 100^2 =2.500\, m[/tex]. Or [tex]d = \frac{AB}{60}[/tex], donc la distance totale est égale à [tex]3\times D = 450\,km[/tex].
Tu achètes  ?

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@Freddy

jusque là entièrement d'accord.

freddy

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Re : Un train pas comme les autres.

Salut,

je fais ça au bureau entre deux dossiers, donc

▼sauf erreur

la distance AB est couverte en 3.050secondes, et la distance BC, en 36000/7 secondes, la troisième en 3.084,72 secondes et au total, on a 11.277,60 secondes, soit  3 heures 7 min et  57 sec et 58/100, sauf à parfaire. Tu achètes ?

Dernière modification par freddy (11-12-2013 21:44:23)

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@Freddy

phase 1 : ok  ;  phase 3 : ok  ;  phase 2 : pas ok car elle ne fonctionne pas de la même façon. tu ne peut pas utiliser l'équation indépendante du temps . la vitesse décroit de 1km/h aux  environs de 20 secondes au premier km et aux environs de 2 min au dernier km.

tu vois pourquoi ça ne peut pas marcher ?

freddy

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Re : Un train pas comme les autres.

Re,

oui, oui, j'ai utilisé une grossière approximation, j'y retourne dès que ...

jdec

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Re : Un train pas comme les autres.

bonjour,

▼Temps pour BC

Log(6)=1.79176 en heure

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@jdec

bien vu pour l'étape BC

Yassine

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Re : Un train pas comme les autres.

▼Je me lance

Sur chaque tronçon, je noterai [tex]x(t),v(t),\gamma[/tex] la distance par rapport au point de départ, la vitesse et l'accélération, [tex]t=0[/tex] à l'origine du tronçon. Je note également [tex]D[/tex] la distance commune AB, BC et CD.

Sur le tronçon AB, mouvement accéléré : [tex]v(t)=\gamma t , x(t)=\frac{1}{2}\gamma t^2[/tex] pour atteindre [tex]v_{max}=v(100s)[/tex] et avoir parcouru [tex]x(100)=\frac{D}{60}[/tex]. On en déduit [tex]v_{max}=0.5 \times 100 = 50 m.s^{-1}[/tex] et [tex]D=60 \times x(100)=60 \times 0.5 \times 0.5 \times 10^4=150 km[/tex] et un temps [tex]T=100+\frac{59D}{60} \frac{1}{v_{max}}=3050 s[/tex].

Sur le tronçon BC, la vitesse dépend de la position : [tex]x^{'}(t)=D-x(t)+30[/tex] (où le temps est en heures et les distances en km) avec la condition initiale[tex]x(0)=0[/tex]. Ce qui se résout en [tex]x(t)=(D+30)(1-e^{-t})[/tex] Le temps recherché vérifie alors [tex]x(T)=D[/tex], soit [tex]T=log(1+\frac{D}{30})=6540,33s[/tex], sa vitesse sera alors [tex]v_c=30 km/h[/tex]

Sur le tronçon CD
Il accélère pour atteindre sa vitesse max qu'il atteint au moment [tex]T_1[/tex] vérifiant [tex]v(T_1)=\gamma T_1 + v_c = v_{max}[/tex], soit [tex]T_1=\frac{50-8,33}{0,5}=83.34s[/tex]. Il aura alors parcouru [tex]x(T_1)=\frac{1}{2}\gamma T_1^2 + v_cT_1 = 2,43 km[/tex]
A un instant donné, le panneau lui indique de décélérer. Par symétrie par rapport à la première partie du tronçon AB, il mettra [tex]100s[/tex] pour décélérer depuis [tex]v_{max}[/tex] à zéro et aura parcouru [tex]\frac{D}{60}[/tex]. Il reste alors à calculer en combien de temps il parcours [tex]\frac{59D}{60}-2,43 km[/tex] à une vitesse constante égale à [tex]v_{max}[/tex], soit, selon mes calculs [tex]2901,4s[/tex].
Je trouve donc au total environ [tex]12503s[/tex], soit 3h28min environ.

Dernière modification par Yassine (14-12-2013 13:27:33)

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@yassine

pas d'accord sur le temps total. ton train est un peu rapide sur le second tronçon.

Yassine

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@yassine

pas d'accord sur le temps total. ton train est un peu rapide sur le second tronçon.

En effet. J'ai utilisé le log base 10 au lieu du log népérien

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@Yassine

c'est ok avec  Ln6