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Achimar

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Énigme Pythagore

Bonjour tout le monde ! Je sèche avec des amis depuis quelques jours sur cette énigme et je n’arrive pas à savoir si la solution nécessite des maths de haut niveau ou si c’est surtout de la déduction et un peu de pythagore…

La question est de trouver le rayon du Cercle :

Figure

jelobreuil

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Re : Énigme Pythagore

Bonjour Achimar,
Je pense qu'on devrait s'en sortir en se rappelant certaines petites choses de géométrie ...
En tout cas, c'est assez intéressant !
Bien cordialement, JLB

Bernard-maths

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Re : Énigme Pythagore

Bonsoir à tous !

pour le moment je cale !

B-m

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

yoshi

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Re : Énigme Pythagore

B'soir,

Moi aussi, plus ou moins...
J'ai exploré une piste qui me semblait être prometteuse, mais c'est raté...

▼C'était une affaire de....

médiatrices.
J'avais cru pouvoir en déduire la construction du centre du cercle dont on cherche le rayon...

Mais visiblement, je n'ai pas assez réfléchi.
Je reprends demain.

@+

Dernière modification par yoshi (23-08-2024 09:35:45)

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yoshi

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Re : Énigme Pythagore

RE,

Bon, après mal de galère, j'ai "quasiment" réussi à reproduire la figure...

J'en conclus que ça ne devrait être faisable que pour un certain angle $\widehat{ABJ}$...
Dans ce cas, sans cet angle, pour l'instant, sauf à lui donner une valeur inconnue $\alpha$, ça va être "pénible" ^_^
Donc, si cet angle ne figure pas réellement pas dans les données, voilà mon plan :
- Je choisis un repère par exemple de centre M et d'axes (MC) et (MA)
- Je calcule ensuite les coordonnées des pointes I et J en fonction de $\alpha$
- Puis les équations des médiatrices de [AC] et [IJ]
J'en déduis
- les coordonnées de O en fonction de $\alpha$
- les longueurs OA, OJ
Et je résous OA = OJ qui devrait me donner cet $\alpha$, que je réinjecte dans l'écriture littérale du rayon...

Je n'ai pas essayé, bien sûr.

Je trouve quand même ça très "bestialement calculatoire" et je me dis qu'il doit y avoir plus simple (je me connais !...).

J'espère que quelqu'un va trouver quelque chose de simple et m'éviter de mettre en pratique mon pensum...

@+

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Saikidoka

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Re : Énigme Pythagore

J'ai aussi "bestialement" calculé l'angle [tex]\widehat{CBJ}[/tex] et trouvé qu'il vaut [tex]\tan^{-1}\left(\frac{7+\sqrt{109}}{10}\right)[/tex]. Si quelqu'un a mieux je suis aussi preneur

Dernière modification par Saikidoka (24-08-2024 11:18:16)

Rescassol

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Re : Énigme Pythagore

Bonsoir,

Pour le rayon du cercle, je trouve $R=\sqrt{\dfrac{64\sqrt{109}+2033}{450}}$.

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths

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Re : Énigme Pythagore

Bonjour à tous !

Je pense comme Yoshi ! Chercher l'angle $α$ :

On trace un cercle ACJ, et on cherche quand L est sur le cercle, on a $α$ ...

Le reste est simple !

DONC je vous laisse faire ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (25-08-2024 10:51:44)

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Bernard-maths

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Re : Énigme Pythagore

Bonjour à tous !

Finalement je me suis laissé entrainé par GeoGebra, et géométriquement, je trouve $α$ = 75,3° et r $≈$ 2.45 ...

DONC : pas d'accord avec Saikidoka, plutôt d'accord avec Rescassol ... ?

Faudrait faire les calculs !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (25-08-2024 16:51:31)

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Rescassol

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Re : Énigme Pythagore

Bonjour,

J'ai bien entendu fait les calculs, en coordonnées barycentriques, avec Matlab.
J'ai pris le triangle $ABC$ comme triangle de base, $D=[u; v; w]$ quelconque, $E$ son image par un quart de tour (rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$) de centre $B$ et écrit deux contraintes, $BD=1$ et $A,C,D,E$ cocycliques. Ensuite, il n'y avait plus qu'à résoudre. Voilà mon code et ma figure.
Si nécessaire, je peux fournir le fichier Géogébra.

% Achimar - 22 Août 2024 - Énigme Pythagore

clc, clear all

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

syms r real % r=sqrt(2)
a=4; b=2*r; c=2*r; S=4; % Longueurs des côtés et aire de ABC

syms u v w real
D=[u; v; w]; % Un point D quelconque
E=QuartDeTourBary(B,D,a,b,c,S);
E=[-u-2*w; -u-v; u+w]; % E est l'image de D par le quart de tour de centre B

[O R2]=CercleTroisPointsBary(A,C,D,a,b,c); % Cercle circonscrit à ACD
O=SimplifieBary(O); % Son centre
O=SimplifieBary(subs(O,[r^4 r^2],[4 2])); % On trouve:
O=[u*v+u*w+2*v*w; v^2-w*v-u*w; v*(u+v+w)];
R2=Factor(R2); % le carré de son rayon
R2=Factor(subs(R2,r^2,2));% On trouve:
R2=2*(v^2+w^2)*(u^2+2*u*v+2*v^2)/(v^2*(u+v+w)^2);

NulD=numden(Factor(Distance2(B,D,a,b,c)-1)); % la distance BD est égale à 1
NulE=numden(Factor(Distance2(O,E,a,b,c)-R2)/8); % E est sur le cercle ACD

NulD=Factor(subs(NulD,r^2,2)); % On simplifie, car r^2=2
% NulD=7*u^2 - 2*u*v + 14*u*w - v^2 - 2*v*w + 15*w^2
NulE=Factor(subs(NulE,r^2,2)/2);
% NulE=3*u^2*v + u^2*w + 2*u*v^2 + 6*u*v*w + 2*v^2*w + 2*v*w^2

% On élimine w entre NulD et NulE
Nulw=Factor(resultant(NulD,NulE,w)); % 105*u^2 - 16*u*v - 16*v^2 = 0
% Delta=8^2+105*16=1744=16*109 et u/v=(8+4*t)/105 ou ... avec t=sqrt(109)

% On élimine u entre NulD et NulE
Nulu=Factor(resultant(NulD,NulE,u)); % 31*v^2 - 2*v*w - 225*w^2 = 0
% Delta=1^2+31*225=64*109 et w/v=-(1+8*t)/225 ou ...

syms t real % t=sqrt(109)

f(u,v,w)=R2; % Calcul de R2
[Num Den]=numden(Factor(f((8+4*t)/105,1,-(1+8*t)/225)));
Num=Factor(subs(expand(Num),[t^4 t^3 t^2],[109^2 109*t 109]));
Den=Factor(subs(expand(Den),t^2,109));

g(t)=Den;
Num=subs(expand(Num*g(-t)),t^2,109); % Expression conjuguée
Den=subs(expand(Den*g(-t)),t^2,109);

h(t)=Num/Den % On trouve (64*t+2033)/450
VaR2=vpa(h(sqrt(109))) % Valeur approchée de R2=(64*sqrt(109)+2033)/450
% On trouve R2=6.0026213701561671366766583498735
% et donc R=2.4500247692944182021838931604892
 

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-08-2024 18:52:52)

yoshi

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Re : Énigme Pythagore

RE,

ET calculs faits classiquement à la main ça se présenterait comment ?
Parce que là, c'est impressionnant, mais je suis obligé de reconnaître que je ne comprends rien au déroulement logique du script, faute de connaître MatLab...

Je vais refaire mon dessin (que je n'ai pas gardé !) avec le GeoLabo de Fred, et demander au soft de m'estimer l'angle $\alpha$ ainsi je verrai si mon dessin était loin de la vérité...

@+

Dernière modification par yoshi (25-08-2024 20:44:40)

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Rescassol

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Re : Énigme Pythagore

Bonjour,

Le code Matlab est très commenté et traduisible presque mot à mot en Python.
Tu peux me demander des explications sur n'importe quelle instruction.
J'utilise quelque fonctions auxilliaires de mon cru, dont je peux fournir le code à la demande.
Une valeur approchée de l'angle $\widehat{ABD}$ est $75.3414250983674°$.
Je n'ai pas calculé la valeur exacte.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-08-2024 19:45:39)

yoshi

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Re : Énigme Pythagore

Re,

C'est fait : (grand sourire) 75,34°.
Un bon point pour mon œil et le soft de Fred !
Merci Rescassol...

Merci pour tes propositions que je décline respectueusement : ce serait trop de boulot pour mon petit cerveau...
Tant pis, je vais mettre en application mon plan bourrin (je n'aurais probablement pas dû le proposer) pas sûr d'ailleurs  que j'arrive à extraire $\alpha$.

@+

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Rescassol

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Re : Énigme Pythagore

Bonsoir,

Je trouve $\cos(\widehat{ABD})=\dfrac{\sqrt{109}+30}{113\sqrt{2}}$.

Cordialement,
Rescassol

yoshi

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Re : Énigme Pythagore

RE,

Je pense que je vais abandonner ma méthode bourrin : juste à voir la gueule des coordonnées de tes points D et E, du coefficient directeur de la médiatrice de [DE] dans le repère que j'ai choisi, j'augure mal de la suite...

@Rescassol
Bon, je me dois de reconnaître que j'ignorais ce qu'étaient des coordonnées Barycentriques, à part le fait que ça l'air de te faciliter les calculs...
D'un seul coup, je me suis dit qu'il fallait que je sache...
La page de Bibmath qui leur est consacrée m'a éclairé sur ce point, mais je ne suis guère plus avancé : du diable, si je vois comment s'en servir (à part "jouer avec des Barycentres), mais surtout comment : je vais donc reprendre ce que tu as déjà publié là-dessus et essayer de comprendre comment tu t'en sers...
Et là, je vais avoir de quoi m'employer ! ^_^

@+

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Rescassol

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Re : Énigme Pythagore

Bonsoir,

je vais donc reprendre ce que tu as déjà publié là-dessus et essayer de comprendre comment tu t'en sers...

Bon courage, Yoshi, et pose moi toutes les questions que tu voudras.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (27-08-2024 21:10:15)