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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 06-11-2023 17:33:34
- bridgslam
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- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 458
apprendre les bonnes manières en évitant les mauvaises
Bonjour,
En lisant des hypothèses sans lunettes, ou avec de mauvaises, on peut fournir rapidement des preuves complètement fausses:
Soit G un groupe ordonné (disons commutatif pour simplifier) et $(a_i)_{i \in I} $, $(b_j)_{j \in J} $ deux familles d'éléments de G telles que
$A = sup (a_i)_{i \in I} $ et $ B = sup (b_j)_{j \in J} $ existent, montrer que $ sup ( a_i + b_j)_{(i,j) \in I \times J} $ existe et le déterminer.
A.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#2 06-11-2023 23:12:07
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 650
Re : apprendre les bonnes manières en évitant les mauvaises
Bonsoir,
Je me lance dans une preuve... en espérant ne pas m'être fait trop piéger (en tout cas, ce sera une façon de voir où sont les pièges) !
Roro.
Dernière modification par Roro (06-11-2023 23:12:37)
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#3 07-11-2023 00:33:47
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 458
Re : apprendre les bonnes manières en évitant les mauvaises
Bonsoir Roro,
Ok pour voir que A+B est un majorant.
Ensuite cela n'induit pas l'existence de S du tout.
Soit X un majorant.
Comme $a_i + b_j $ est inférieur à X pour tout i,j,
On a donc $a_i $ majoré par $X-b_j$ donc idem pour A.
Ainsi $b_j $ est majoré par X-A, donc B aussi.
Donc A+B est inférieur à X , et le sup est bien A+B.
L'énoncé ne spécifiant pas que l'ordre soit total, on ne pouvait pas intercaler pour dépasser des minorants stricts respectifs de A et de B, démarche plus directe si on était dans $\mathbb{R}$,
Ou tout groupe tot. ordonné .
A.
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