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bridgslam

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apprendre les bonnes manières en évitant les mauvaises

Bonjour,

En lisant des hypothèses sans lunettes, ou avec de mauvaises, on peut fournir rapidement des preuves complètement fausses:

Soit G un groupe ordonné (disons commutatif pour simplifier) et $(a_i)_{i \in I} $, $(b_j)_{j \in J} $ deux familles d'éléments de G telles que
$A = sup (a_i)_{i \in I} $ et $ B = sup (b_j)_{j \in J} $ existent, montrer que $ sup ( a_i + b_j)_{(i,j) \in I \times J} $ existe et le déterminer.

▼éviter l'écueil

L'habitude qu'on a de faire (souvent) comme si G était le groupe des réels muni de l'addition est une chausse-trappe...

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Roro

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Re : apprendre les bonnes manières en évitant les mauvaises

Bonsoir,

Je me lance dans une preuve... en espérant ne pas m'être fait trop piéger (en tout cas, ce sera une façon de voir où sont les pièges) !

▼test

Puisque $A=\sup_{i\in I} a_i$ alors pour tout $i\in I$ on a $a_i\leq A$.
Puisque $B=\sup_{j\in J} b_j$ alors pour tout $j\in J$ on a $b_j\leq B$.
On en déduit que pour tout $(i,j)\in I\times J$ on a $a_i+b_j\leq A+B$, c'est-à-dire que la borne supérieure recherchée existe, je la note $S$, et qu'elle vérifie $S \leq A+B$.

Considérons un élément $C$ du groupe tel que $C < A+B$ (la notation $x<y$ signifie ici $x\leq y$ et $x\neq y$). On a donc $C-A < B$ (je note $-A$ l'opposé de $A$ puisque que le sujet de bridgslam semble utiliser la notation $+$ pour la loi du groupe). Par définition de la borne supérieure $B$, j'en déduis qu'il existe $j_0\in J$ tel que $C-A < b_{j_0}$.
On a alors $C-b_{j_0}<A$ et par définition de la borne supérieure $A$, il existe $i_0\in I$ tel que $C < a_{i_0}+b_{j_0}$.

On a donc montré que pour tout $C$ tel que $C < A+B$, il existe $(i_0,j_0)\in I\times J$ tel que $C < a_{i_0}+b_{j_0}$, donc que $S\geq A+B$

Roro.

Dernière modification par Roro (06-11-2023 23:12:37)

bridgslam

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Re : apprendre les bonnes manières en évitant les mauvaises

Bonsoir Roro,

Ok pour voir que A+B est un majorant.
Ensuite  cela n'induit pas l'existence de S du tout.

Soit X un majorant.
Comme $a_i + b_j $ est inférieur à X pour tout i,j,
On a donc $a_i $ majoré par $X-b_j$ donc idem pour A.
Ainsi $b_j $ est majoré par X-A, donc B aussi.
Donc A+B est inférieur à X , et le sup est bien A+B.

L'énoncé ne spécifiant pas que l'ordre soit total, on ne pouvait pas intercaler pour dépasser des minorants stricts respectifs de A et de B, démarche plus directe si on était dans $\mathbb{R}$,
Ou tout groupe tot. ordonné .

A.

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