Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Un train pas comme les autres.

salut.

Un train part de A en passant par les villages C & D sans s'arreter pour se rendre au terminus D .

- Les distances AB , BC & CD  sont égales.

- Il part donc de A en accélérant de [tex]0.5m.s^{-2}[/tex] jusqu'à atteindre sa vitesse maximum au bout de 1min 40s et il aura alors parcouru le soixantième  de AB
- jusqu'en B , sa vitesse reste constante.
- Arrivé en B  , le parcours BC étant un peu spécial , le chauffeur fait appel à un calculateur de bord qui impose une vitesse décroissante de telle sorte que , en tout point M appartenant à BC ,  V = (MC+30) km/h  .
- Lorsqu'il passe en C , il reprend le control de sa machine et la relance avec la même accélération de [tex]0.5m.s^{-2}[/tex] jusqu'à atteindre sa vitesse maximale . Il roule ainsi à cette vitesse jusqu'à un panneau repéré sur la voie qui lui signifie qu'il faille lancer le processus de décélération toujours de [tex]0.5m.s^{-2}[/tex] de telle sorte que le train s'arrete en D.

Question: quelle fut la durée du trajet AD ?

                                                                                                     bon voyage.

n.b  j'avais omis un détail que j'ai souligné

Dernière modification par jpp (08-12-2013 13:06:44)

freddy

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Re : Un train pas comme les autres.

Salut,

▼une idée ...

en réalité, le début du problème permet de le résoudre intégralement puisqu'il est dit que les 3 distances sont égales. Donc en véhicule qui démarre à l'origine avec une vitesse nulle, est soumis à une accélération constante comme indiqué, a parcouru au moment où sa vitesse est stabilisée une distance  [tex]d= \frac12\times (0.5)\times 100^2 =2.500\, m[/tex]. Or [tex]d = \frac{AB}{60}[/tex], donc la distance totale est égale à [tex]3\times D = 450\,km[/tex].
Tu achètes  ?

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@Freddy

jusque là entièrement d'accord.

freddy

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Re : Un train pas comme les autres.

Salut,

je fais ça au bureau entre deux dossiers, donc

▼sauf erreur

la distance AB est couverte en 3.050secondes, et la distance BC, en 36000/7 secondes, la troisième en 3.084,72 secondes et au total, on a 11.277,60 secondes, soit  3 heures 7 min et  57 sec et 58/100, sauf à parfaire. Tu achètes ?

Dernière modification par freddy (11-12-2013 21:44:23)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@Freddy

phase 1 : ok  ;  phase 3 : ok  ;  phase 2 : pas ok car elle ne fonctionne pas de la même façon. tu ne peut pas utiliser l'équation indépendante du temps . la vitesse décroit de 1km/h aux  environs de 20 secondes au premier km et aux environs de 2 min au dernier km.

tu vois pourquoi ça ne peut pas marcher ?

freddy

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Re : Un train pas comme les autres.

Re,

oui, oui, j'ai utilisé une grossière approximation, j'y retourne dès que ...

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

jdec

Invité

Re : Un train pas comme les autres.

bonjour,

▼Temps pour BC

Log(6)=1.79176 en heure

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@jdec

bien vu pour l'étape BC

Yassine

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Re : Un train pas comme les autres.

▼Je me lance

Sur chaque tronçon, je noterai [tex]x(t),v(t),\gamma[/tex] la distance par rapport au point de départ, la vitesse et l'accélération, [tex]t=0[/tex] à l'origine du tronçon. Je note également [tex]D[/tex] la distance commune AB, BC et CD.

Sur le tronçon AB, mouvement accéléré : [tex]v(t)=\gamma t , x(t)=\frac{1}{2}\gamma t^2[/tex] pour atteindre [tex]v_{max}=v(100s)[/tex] et avoir parcouru [tex]x(100)=\frac{D}{60}[/tex]. On en déduit [tex]v_{max}=0.5 \times 100 = 50 m.s^{-1}[/tex] et [tex]D=60 \times x(100)=60 \times 0.5 \times 0.5 \times 10^4=150 km[/tex] et un temps [tex]T=100+\frac{59D}{60} \frac{1}{v_{max}}=3050 s[/tex].

Sur le tronçon BC, la vitesse dépend de la position : [tex]x^{'}(t)=D-x(t)+30[/tex] (où le temps est en heures et les distances en km) avec la condition initiale[tex]x(0)=0[/tex]. Ce qui se résout en [tex]x(t)=(D+30)(1-e^{-t})[/tex] Le temps recherché vérifie alors [tex]x(T)=D[/tex], soit [tex]T=log(1+\frac{D}{30})=6540,33s[/tex], sa vitesse sera alors [tex]v_c=30 km/h[/tex]

Sur le tronçon CD
Il accélère pour atteindre sa vitesse max qu'il atteint au moment [tex]T_1[/tex] vérifiant [tex]v(T_1)=\gamma T_1 + v_c = v_{max}[/tex], soit [tex]T_1=\frac{50-8,33}{0,5}=83.34s[/tex]. Il aura alors parcouru [tex]x(T_1)=\frac{1}{2}\gamma T_1^2 + v_cT_1 = 2,43 km[/tex]
A un instant donné, le panneau lui indique de décélérer. Par symétrie par rapport à la première partie du tronçon AB, il mettra [tex]100s[/tex] pour décélérer depuis [tex]v_{max}[/tex] à zéro et aura parcouru [tex]\frac{D}{60}[/tex]. Il reste alors à calculer en combien de temps il parcours [tex]\frac{59D}{60}-2,43 km[/tex] à une vitesse constante égale à [tex]v_{max}[/tex], soit, selon mes calculs [tex]2901,4s[/tex].
Je trouve donc au total environ [tex]12503s[/tex], soit 3h28min environ.

Dernière modification par Yassine (14-12-2013 13:27:33)

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@yassine

pas d'accord sur le temps total. ton train est un peu rapide sur le second tronçon.

Yassine

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@yassine

pas d'accord sur le temps total. ton train est un peu rapide sur le second tronçon.

En effet. J'ai utilisé le log base 10 au lieu du log népérien

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jpp

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Re : Un train pas comme les autres.

salut.

▼@Yassine

c'est ok avec  Ln6