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Fred

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Un problème de balance

Bonjour,

  Autrefois, on utilisait des balances à plateaux, ou balances de Roberval, pour mesures des masses.
On équilibrait la masse à mesure à l'aide de tares.
  Imaginons que l'on ne souhaite mesurer que des masses qui correspondent à un nombre entier de kilogrammes.

1. (pour se chauffer) Il suffit de deux tares pour mesurer les masses de 1, 2, 3 et 4kg. Quelle est la masse de chacune de ces tares ?
2. (pour aller un peu plus loin) Trois tares suffisent pour mesurer les masses de 1 à 13kg. Quelles doivent être les masses de ces tares ?
3. (un peu plus costaud) Avec cinq tares, quel est le plus large intervalle (commençant à 1 !) de masses entières que je peux mesurer ?

A vous lire !

F.

Roro

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Re : Un problème de balance

Salut,

Je ne répond qu'à la seconde question car je n'ai pas le temps de réfléchir tout de suite à la dernière...

▼Texte caché

1, 3 et 9

Roro.

cailloux

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Re : Un problème de balance

Bonjour,

▼Texte caché

Pour $n$ tares, on peut coder leur répartition sur les plateaux de la balance avec une somme de ces tares affectées des coefficients  $0$, $1$ ou $-1$ suivant que la tare est non utilisée ou qu'elle est sur l'un ou l'autre plateau. On obtient $3^n$ possibilités pour cette somme nombre auquel il faut retrancher $1$ (la répartition $0,0,\cdots ,0$ qui ne pèse que du vent) et diviser par deux (les plateaux jouant des rôles symétriques).
Donc au maximum $\dfrac{3^n-1}{2}$ répartitions qui correspondent, si les poids résultants sont distincts, au nombre maximum de kg que l'on peut peser.
Or $1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}=\dfrac{3^n-1}{2}$ et pour chaque poids entre 1 et $\dfrac{3^{n}-1}{2}$ kg, son écriture en base $3$ est unique. Bref, des tares en puissances de 3 maximisent le nombre de poids que l'on peut mesurer.
Pour $n=5$ on peut mesurer au maximum de 1 à 121 kg avec des tares de 1,3,9,27 et 81 kg.

Dernière modification par cailloux (15-11-2024 13:53:49)

Fred

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Re : Un problème de balance

▼ @ cailloux

  Bravo ! J'avais une solution similaire (peut-être un peu moins élégante) à base de suite arithmético-géométrique.

cailloux

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Re : Un problème de balance

Bonjour Fred,

▼Texte caché

J'avais déjà vu passer ce problème avec 4 tares. A l'époque, j'avais bien trouvé pedibus 1,3,9,27 pour peser des masses de 1 à 40 kg mais sans chercher le pourquoi.
En postant ce problème ici, tu m'as permis de m'y replonger et de trouver une justification à peu près potable.
Merci à toi !

Ernst

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Re : Un problème de balance

Bonjour tout le monde,

On peut doubler la longeur des séries proposée jusqu'ici sans aucun problème.

▼solution

Allez hop, première tare, 2 kg. Si la tare est plus lourde, c'est que ce que j'ai mis de l'autre côté pèse moins, donc 1kg. Si c'est équilibré, c'est que ça pèse 2 kg.

      x < 2 kg         x = 1 kg
      x = 2 kg         x = 2 kg

Si c'est plus lourd, je mets la tare du côté de la masse à peser et de l'autre côté je mets 6 kg, ma deuxième tare. Si cette tare est plus lourde, c'est que ce que je pèse fait plus de 2 kg (résultat de la manip' précédente) et moins de 4 kg (manip' actuelle).

2 + x < 6 kg         x = 3 kg
2 + x = 6 kg         x = 4 kg
      x < 6 kg         x = 5 kg
      x = 6 kg         x = 6 kg
      x < 6 + 2 kg   x = 7 kg
      x = 6 + 2 kg   x = 8 kg

On voit bien qu'il suffit de deux tares et de deux mesures pour évaluer de 1 à 8 kg... En fait je double tout, 2 kg, 6 kg, 18 kg, etc. La subtilité, c'est qu'on a pas besoin de pouvoir mesurer une masse si on sait la déterminer avec certitude par encadrement.

Tadaa !