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Peterouchikh

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Théorème de Rolle !!

Bonsoirs a tous et toutes

Pourriez-vous m'aider pour cet exercice svp

Enoncé :

Soit $f$ une fonction continûment dérivable dans  $[a, b]$, $b > a$, telle
que $f(a) = f(b) = 0$. Montrer qu'il existe au moins un point $x_0 \in [a, b]$
tel que
$$ |f'(x_0)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x$$

d'abord j'ai remarqué que $\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}-a=b-\frac{a+b}{2}$, puis,
$$\frac{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2}=\frac{\frac{\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}+\frac{\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}}{\frac{b-a}{2}}$$

D'après TVI, on peut trouver $c_1,c_2\in[a,\frac{a+b}{2}]\times[\frac{a+b}{2},b]$ tels que $\frac{\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}=f(c_1),\frac{\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}=f(c_2)$
Ainsi
$$\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}(f(c_1)+f(c_2))$$

Fred

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Re : Théorème de Rolle !!

Bonjour,

  Tel que c'est écrit, c'est faux : si la fonction est identiquement nulle, cela reviendrait à écrire $0>0.$
Est-ce qu'il faut comprendre l'énoncé avec une inégalité large ?

F.

djoumbissie

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Re : Théorème de Rolle !!

bonjour.je PenSe qu'il faut utiliser Les trois critéres suivant.la continuité,la dérivabilité,et le fait que f(a)=f(b)=0

Peterouchikh

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Re : Théorème de Rolle !!

Bonjour,

  Tel que c'est écrit, c'est faux : si la fonction est identiquement nulle, cela reviendrait à écrire $0>0.$
Est-ce qu'il faut comprendre l'énoncé avec une inégalité large ?

F.

Bonjour

Supposons donc $f$ non identiquement nulle

Peterouchikh

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Re : Théorème de Rolle !!

Bonsoir

J'ai réussi a montrer l’inégalité mais au sens large ! j'ai utilisé l'inégalité des accroissements finis sur l'intervalle $\left[a,x\right]$, pour $x\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right]$, puis, en intégrant, j'ai obtenu $\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \, \mathrm{d}x \leq |f'(x_0|\frac{(b-a)^2}{8} $, et par analogie, on a $\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq |f'(x_0|\frac{(b-a)^2}{8} $. PS: $x_0$ est le point où $|f'|$ atteint son maximum

Fred

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Re : Théorème de Rolle !!

Bravo ! Tu dois pouvoir obtenir l'inégalité au sens strict en étudiant les cas d'égalité dans l'inégalité des accroissements finis.

F.