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JuanPedro

Invité

Ensemble quotient

Je viens de commencer a étudier les relations d'équivalences et les ensembles quotients, et quelques questions que je me pose ne trouve pas de réponse sur internet. Les voici :

Soit E un ensemble et R une relation d'équivalence sur les éléments de E.

Le livre "Tout en 1 pour la licence 2" définis l'ensemble quotient de E par R l'ensemble Ē
tel qu'il existe une application π : E -> Ē qui soit surjective et tel que pour tout x,y dans E, π(x) = π(y) <=> xRy

mon soucis est que toutes les autres sources définissait Ē comme l'ensemble des classe d'équivalence des éléments de E. Bien entendu je vois le liens entre ces deux définition mais mon soucis est que je n'arrive pas a démontrer l'unicité de Ē pour la première définition ce qui pose problème non ? d'ailleurs je me demande dans quelle mesure cette définition ne permettrait pas la création d'une infinité d'ensemble quotient car il suffirais de trouver un nouvelle ensemble Ē' de même cardinal que Ē et de composé π avec une bijection de Ē dans Ē'.
(encore une fois je tiens a préciser que je vois qu'on retombe forcément sur un ensemble qui serait proche de l'ensemble des classe d'équivalence)

ma seconde question porte sur la notation des ensemble quotient, car si on note E/R que définit on par nZ dans Z/nZ ou d'autre ?
parce que R est une relation et nZ un ensemble donc je ne comprend pas très bien.

Merci à vous si vous prenez le temps de me répondre en pleine vacance :)

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

j'ai oublié de dire bonjour désolé x)

Papa Abdoulaye

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Re : Ensemble quotient

Bonsoir, si je peux apporter ma petite contribution, il se trouve que tu as raison sur l'ambigueté qu'il y'a entre les notations des ensembles quotients. Il se trouve que  E/R est défini comme étant l'ensemble des classes d'équivalence dans E et possède par définition des classes d'équivalences qui chacunes d'elles possèdent  tous les éléments renvoyant à l'élément dont ils appartiennent à la classe par composition avec la loi de composition interne du groupe. Par exemple si E est un groupe mini de la loi . et e étant l'élément neutre du groupe. Si  R une relation d'équivalence sur E compatible avec la loi de E , on notera e bar la classe d'équivalence de e et elle contient par définition e du fait de la reflexivité.
Pour les définitions j'ai en ma possession de bons document et mes cours au besoin, je te laisse mon mail. Sarrp5157@gmail.com et mon numéro, +221785249600

Fred

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Re : Ensemble quotient

Bonjour

  Je n'ai pas le temps de te répondre en détails mais le lien suivant devrait répondre à tes questions : https://www.imo.universite-paris-saclay … t0002.html

F.

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Bonjour,
Tu as raison de te poser cette question.
La définition que tu as ne définit pas le quotient $\pi : E \to \bar E$ de manière unique. Mais si $p : E\to F$ est un autre quotient selon cette définition, alors il existe une unique bijection $u : \bar E \to F$ telle que $p=u\circ \pi$. On a donc en fait unicité à bijection unique près.
Ceci correspond à la propriété universelle du quotient que tu retrouveras dans le document en lien dans le message de Fred.
La définition du quotient comme ensemble des classes d'équivalence, avec $\pi$ l'application qui à un élément associe sa classe, montre en fait qu'il y a bien une application de $E$ dans un ensemble qui vérifie la propriété de ta définition.
Mais l'important dans le quotient, ce n'est pas tant la façon dont il est fabriqué que la façon dont il fonctionne, c.-à-d. sa propriété universelle.
Concernant $\mathbb Z/n\mathbb Z$, $n\mathbb Z$ n'est effectivement pas une relation d'équivalence, mais un sous-groupe du groupe abélien $\mathbb Z$, précisément le sous-groupe des multiples de $n$. La relation d'équivalence, c'est la congruence modulo $n$, c.-à-d. que $x$ et $y$ sont équivalents si et seulement si $x-y\in n\mathbb Z$.

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

merci pour toutes vos réponses, elles m'aident beaucoup !
je me suis sûrement mal exprimé mais enfaite pour nZ ma question n'était pas sur ce qu'est nZ mais
pourquoi on note Z/nZ et pas Z/R avec R := ${(x,y) \in Z^2, x-y \in nZ}$
j'imagine que ça ne change pas grand chose mais ça peut aussi vouloir dire que je n'ai pas bien compris la notion de relation

Fred

Administrateur

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Re : Ensemble quotient

Bonjour,

  La notation Z/nZ correspond à celle de groupe quotient qui est un cas particulier important de la notion d'ensemble quotient défini par une relation d'équivalence.

F.

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

bonsoir,
désolé de me répéter mais mes questions ne sont pas sur l'ensemble Z/nZ en tant que tel mais sur sa notation car mes cours indiquent qu'un ensemble quotient s'écrit sous la forme E/R avec E un ensemble et R une relation or nZ n'est pas une relation.
comment expliquer la notation Z/nZ

encore merci pour tous vos messages :)

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

C'est la notation usuelle pour les groupes, les anneaux, les espaces vectoriels ...
Par exemple si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, $E/F$ désigne l'espace vectoriel quotient, où $x$ équivalent à $y$ est définie par $x-y \in F$.
Il faut t'y faire, c'est la notation habituelle pour les structures algébriques : $E/F$ porte l'idée qu'on "tue" les éléments de $F$, on les force à devenir nuls.

bridgslam

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Re : Ensemble quotient

Bonjour,

En quelque sorte on "abrège"  $E / "x-y \in F"$ en  "$E/F$"       x,y étant des variables muettes d'éléments de E.

F concentre toute l'information pour la relation d'équivalence en question, et cette notation se suffit à elle-même.

Pour la première question, l'aspect universel de certaines propriétés peut être simplifié avec le langage des foncteurs et des éléments universels,
une excellente (à mon avis) présentation est faite dans le tome 1 d'algèbre de Birkhoff McLane.
En introduisant quelques nouveaux objets, on en a une expression plus simple et unifiée.

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

merci beaucoup,
est ce que cette notation raccourcis n'est utiliser que pour les ensembles quotient les plus utilisé (Z/nZ) ou tous les ensembles quotient que l'on pourrait imaginer ?
exemple :
je me place dans Z et je définis ma relation R de la manière suivante : $xRy \Longleftrightarrow xy \in \mathbb{N}$
est ce que je peux écrire que mon ensemble quotient comme $\mathbb{Z}/\mathbb{N}$ ? ou alors $\mathbb{N}/R$ ?
Et est ce que cela ne poserait pas problème d'avoir plusieurs ensemble quotient qui s'écriraient de la même manière mais qui ne définiraient pas les mêmes ensembles ?

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Cette notation est utilisée pour les quotients de structures algébriques, par les noyaux de morphismes entre ces structures.
Que sont ces noyaux ? Pour les groupes, les sous-groupes distingués. Pour les espaces vectoriels, les sous-espaces. Pour les anneaux commutatifs, les idéaux. Par exemple $n\mathbb Z$ est aussi un idéal de $\mathbb Z$, et le quotient $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est non seulement un groupe, mais aussi un anneau commutatif.
Une petite remarque : ta relation $R$ n'est pas une relation d'équivalence, elle n'est pas transitive. On a $-1\,R\,0$, $0\,R\,1$ mais pas $-1\,R\,1$.

bridgslam

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Re : Ensemble quotient

Bonjour,

0 . 1 est dans N,  0.(-1) aussi mais pas 1 . (-1) , ce n'est pas une relation d'équivalence.

A minima la relation est réservée aux relations d'équivalence, et même plutôt quand la structure algébrique sur E est conservée sur le quotient.
exemple ( plus clair si vous avez des notions sur les groupes) : On peut définir des relations d'équivalence sur un groupe G modulo un sous-groupe H,
mais on réserve la notation G/H lorsque H est distingué dans G, pas s'il est quelconque.

[Michel : on s'est croisé, désolé ]
A.

Dernière modification par bridgslam (08-08-2024 10:53:55)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

vraiment mille merci je ne sais même pas quoi dire.

j'ai un peu de mal a comprendre cette phrase "Cette notation est utilisée pour les quotients de structures algébriques, par les noyaux de morphismes entre ces structures."

autrement oui j'ai mal vérifié mais dans le cas ou on se place sur Z* alors c'est une relation d'équivalence mais j'imagine alors que cette notation n'est plus possible car (Z,+) n'est plus un groupe.

je viens de trouver un cours qui définis $Z/nZ$ par $Z/~_n$ avec $~_n$ la relation de congruence modulo n et je pense que mon cerveau n'arrive pas a comprendre pourquoi noté de la même manière deux chose "différente" puisque nZ ≠ {(x,y) ∈ $Z^2$ | x$~_n$}

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

petite erreur d'utilisation de LaTeX désolé
quand il y a marqué $~_n$ je voulais marqué ~ indicé par n

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

de même je voulais écrire : nZ ≠ {(x,y) ∈ $Z^2$ | x ~ y}

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

C'est plutôt noter la même chose de deux manières différentes : $\mathbb Z/n\mathbb Z$ et $\mathbb Z/\equiv_n$.
Et on t'a expliqué que cette notation du quotient se retrouve pour toutes les structures algébriques où il fait sens de parler de quotient (ce quotient étant alors une structure du même type). Encore une fois, il faut que tu t'y fasses ! C'est l'habitude en mathématiques de noter ainsi les quotients de structures algébriques.

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Il y a aussi une habitude, notamment en topologie, d'écrire des quotients $X/A$ où $A$ est une partie de $X$. Cette notation veut dire qu'on quotiente par la relation d'équivalence dont une des classes est $A$ et les autres classes sont les singletons non contenus dans $A$. Par exemple $[-1,1]/\{-1,1\}$ est l'intervalle dont on a recollé les deux extrémités en un seul point ; du point de vue topologique, c'est un cercle.

Dernière modification par Michel Coste (08-08-2024 12:06:17)

bridgslam

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Re : Ensemble quotient

Sinon, pour rester dans un registre "Faîtes entrer l'accusé" ou Commissaire Maigret tuer la quantité numérique sur le monoïde des entiers relatifs non nuls donne le groupe à deux éléments, on change de structure algébrique.

Tuer le signe ( relation $x/y \in {-1,1} $ ) est plus intéressant (mais douteux la division n'étant pas définie, il vaut mieux l'écrire autrement), c'est l'association sur un anneau.

Bref tout un panorama criminogène que je m'empresse de quitter au plus vite.

Alain

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JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

Mon cerveau commence à fondre je m'attendais pas à finir par parler de topologie mdrr
mais donc dans l'exemple du cercle [0,1]/{0,1} on ne définie rien d'autre alors quel est la relation d'équivalence associé a {0,1} ?
est ce que ça a encore un sens d'essayer de relier ce quotient a une relation ou c'est juste autre chose ?

pour m'assurer que j'ai compris :
est ce que [0,1]x[0,1]/{x,y | x^2+y^2 = 1} nous donne une sphère ?

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

je viens de relire mon message et j'ai écris n'importe quoi mais bon pas grave

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Pas tout à fait n'importe quoi.
Notons $D^2$ le disque unité et $S^1$ le cercle unité, son bord.
Alors $D^2/S^1$ est effectivement une sphère topologique.

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

mais donc dans ce cas on est d'accord qu'il n'y a pas de liens entre la notation $D^2/S^1$ et la notation E/R des relation d'équivalence ou si ?

Michel Coste

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Re : Ensemble quotient

Le lien entre les notations est que la barre de fraction indique dans les deux cas un quotient et qui dit quotient dit relation d'équivalence.

JuanPedro

Invité

Re : Ensemble quotient

Et donc dans ce cas la relation d'équivalence dit quoi ?