Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Junior ste

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Topologie

Salut
S'il-vous-plaît si x est un irrationnel et Y un réel. Quel condition sur y faut-il pour que x-y soit un rationnel ????

Michel Coste

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Re : Topologie

Bonsoir,

Il faut et il suffit que [tex]y-x[/tex] soit rationnel. What else ?
Et nécessairement  [tex]y[/tex] est irrationnel. Vois-tu pourquoi ? Par contre, ce n'est bien sûr pas suffisant.

Junior ste

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Re : Topologie

Salut.
En effet on définit une relation  d'équivalence par pour tout x,y réel x est en relation avec y ssi x-y est un rationnel et on me demande de déterminer la classe d'équivalence d'un élément. Ainsi donc lorsque je prend un réel soit il est un rationnel ou un irrationnel. Dans le cas où c'est un rationnel alors il est clair que sa classe est l'ensemble des nombres rationnels dans le cas où c'est un irrationnel que dire ??? Raison pour laquelle je pose cette question.

bridgslam

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Re : Topologie

Bonjour,

Si tu prends (par exemple) $\{ n\sqrt{2}, n \in \mathbb{N}^*\}$ tu pourras constater que ces nombres sont forcément dans des classes différentes. Donc la quantité de classes selon cette relation d'équivalence est au moins infini dénombrable.
Pousser plus avant l'investigation, à savoir décrire complètement les classes ne me semble pas trivial, mais on peut se limiter déjà aux irrationnels dans ]0,1[ puisque à une translation d'un entier près, on atteint le reste (avec AC).
Normalement on doit pouvoir montrer que cette partie du segment [0,1] n'est pas dénombrable non plus en montrant qu'elle n'est pas mesurable au sens de Lebesgue, donc encore moins de mesure nulle, ce qui ne serait pas le cas si elle était dénombrable.
Cela doit nécessiter l'axiome du choix je pense.
Par surjection canonique le nombre de classes sur $\mathbb{R}$ , qui est de cardinal $\aleph1$ est donc aussi $\aleph1$.

Sinon, si la question stricto sensu est de déterminer la classe de x (réel quelconque) eh bien c'est $x +\mathbb{Q}$, La Palisse ne ferait pas mieux!

A.

Dernière modification par bridgslam (18-01-2022 19:01:02)

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