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Eyer

Invité

Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

Bonjour
J'ai l'exercice suivant :
     Soit f :(X,m)--->R une fonction mesurable.
Montrer que |f| est mesurable .
Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît .

Paco del Rey

Invité

Re : Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

Bonsoir Eyer.

Que sais-tu des fonctions mesurables ?

Paco.

Eyer

Invité

Re : Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

Je sais que si f (X,m) >(Y,m) est mesurable et g de (Y,m) >(z,m) mesurable , alors qof est mesurable c'est ce que je sais
On vat donc utiliser la mesurabilité de la valeur absolue , mais comment ?
Et comment peut-on montrer la mesurabilité de l'application valeur absolue ?

Paco del Rey

Invité

Re : Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

Dans ces conditions, la valeur absolue est-elle mesurable ?

Paco.

Eyer

Invité

Re : Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

Je sais que si une application de (X,m1) vers (X2,m2) est une mesure ssi f-1 (B) appartient à m1 pour tout B dans m2 .
Mais on a ici |.|:R---->R , on a ici les deux ensembles R (X1) et R (X2) ,mais on n'a pas les sigmas-algèbre ? Donc d'ou' on va connaître les sigmas-algèbres ?

Eyer

Invité

Re : Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

|.| :R---R signifie l'application valeur absolue.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

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Messages : 1 913

Re : Mesurabilité de valeur absolue d'une fonction

Bonjour,

Attention, la notion de mesure n'a rien à voir avec celle d'application mesurable.

Plusieurs moyens à ta disposition:
1/ Tu dois montrer que par-exemple pour tout y  réel { |f| < y } est m-mesurable.
, c-à-dire finalement chercher les x tels que -y < f(x) < y.
C'est [tex] f^{-1}  ( ]-y, y[ )[/tex] , et tu utilises ensuite la mesurabilité de f...

2/ Tu as aussi l'égalité suivante utilisant deux fonctions indicatrices de parties mesurables: $|f| = f . \Large \mathbb{1} \normalsize _{f^{-1}(\mathbb{R}+)}  - f . \Large \mathbb{1}\normalsize_{f^{-1}(\mathbb{R}-)}$

3/ Enfin la valeur absolue est continue donc mesurable, et par composition on a le résultat.

Bref que l'embarras du choix... selon la dose de théorèmes annexes utilisables.
Alain

Dernière modification par bridgslam (05-12-2021 16:10:52)