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Bonjour

Comment peut-on démontrer que $$\Omega = \int_0^{\infty} \text{Ai}^4(x) \, dx = \frac{\ln(3)}{24 \pi^2}$$
où \(\text{Ai}(x)\) est la fonction d’Airy?

En utilisant la représentation intégrale de Fourier de la fonction d’Airy, on obtient

\[ \Omega = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int_{\mathbb{R}^4} \exp\Bigg(i \sum_{j=1}^{4} \frac{t_j^3}{3}\Bigg)
\Bigg( \int_0^{\infty} \exp\Big(i x \sum_{j=1}^{4} t_j \Big) \, dx \Bigg) \, dt_1 dt_2 dt_3 dt_4\]

On peut utiliser le fait que

$$\int_0^{\infty} e^{i s x} \, dx = \pi \delta(s) + i \, \mathcal{P}\Big(\frac{1}{s}\Big)$$

Donc,
\begin{align*}
\Omega &= \frac{1}{(2 \pi)^4} \int_{\mathbb{R}^4} \exp\Big(i \sum_{j=1}^{4} \frac{t_j^3}{3}\Big)
\Big[ \pi \delta\Big(\sum t_j\Big) + i \, \mathcal{P}\Big(\frac{1}{\sum t_j}\Big) \Big] \, dt_1 dt_2 dt_3 dt_4 \\
&= \frac{1}{16 \pi^3} \int_{\mathbb{R}^3} \exp\Big(i \frac{1}{3} (k_1^3 + k_2^3 + k_3^3 + k_4^3) \Big) \, dk_1 dk_2 dk_3 \\
&= \frac{1}{16 \pi^3} \int_{\mathbb{R}^3} \exp\Big( - i (k_1+k_2)(k_2+k_3)(k_3+k_1) \Big) \, dk_1 dk_2 dk_3.
\end{align*}

J’ai du mal à vérifier numériquement la dernière intégrale: WolframAlpha refuse de la traiter et Mathematica (basic) plante. L’intégrale est très oscillatoire. La forme \(\ln(3)/(24 \pi^2)\) est si élégante, avec des constantes reconnaissables et le mystérieux 24, que cela me laisse penser qu’il doit y avoir une simplification simple (je l’espère…).

Cordialement.