Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Après être arrivé là, ça devient compliqué d'aller plus loin sauf si rmax =∞. Au quel cas on peut utiliser la formule suivante :
[tex]
\int_0^\infty x^{\nu +1} e^{-\alpha x} J_\nu(\beta x) \, dx = \frac{(2 \alpha )\,(2 \beta)^\nu \, \Gamma( \nu + 3/2)}{\sqrt{ \pi} \, (\alpha^2 + \beta^2)^{ \nu+1/2 } \,}
[/tex]
Que vous pouvez retrouver en cliquant ici : Gradshteyn et Ryzhik

Dans notre cas

[tex]
x=r ; \, \alpha=\gamma; \, \beta=q;\, et \, \nu =1\\
Donc \, \int_0^\infty r^{2} e^{- \gamma r} J_1(qr) \, dx= \frac{4 \gamma q \, \Gamma( 1 + 3/2)}{\sqrt{ \pi} \, (\gamma^2 + \beta^2)^{ 3/2 } \,}\\
Or\, \Gamma (x+1)=x \Gamma (x) \Rightarrow \Gamma (1+3/2)=\frac{3}{2} . \frac{1}{2} \Gamma( \frac{1}{2}) =\frac{3}{4} \sqrt{ \pi}\\
A=2 \pi \frac{4 \gamma q \, \frac{3}{4} \sqrt{ \pi}}{\sqrt{ \pi} \, (\gamma^2 + \beta^2)^{ 3/2 } \,}\\
A= \frac{6 \pi \gamma q \, }{\sqrt{ \pi} \, (\alpha^2 + \beta^2)^{ 3/2 } \,}\\
[/tex]

Bonjour Anaïs !
Voici ma proposition:

[tex]
Si\,On \,pose\, A= \iint r^2 e^{-\gamma r} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta \, dr \\
A = \int_0^{r_{\text{max}}} r^2 e^{-\gamma r} \left( \int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta \right) dr \\
on\, a \sin(qr \cos\theta)= \frac{e^{iqr \cos\theta} - e^{-iqr \cos\theta}}{2i} \\
Or \, e^{iz \cos\alpha} = \sum_{n=- \infty}^{\infty} i^n J_n (z) e^{in \alpha} \, ;\,(J_n (z) : fonction\, de \,Bessel\, d'ordre\, n) \\
\sin(qr \cos\theta) = \frac{1}{2i} (\sum_{n=-\infty}^{+\infty} i^n J_n(qr) e^{in\theta} -  \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-i)^n J_n(qr) e^{in\theta})\\
\sin(qr \cos\theta) = \frac{1}{2i} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (i^n-(-i)^n) J_n(qr) e^{in\theta}\\
\int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (i^n-(-i)^n) J_n(qr) e^{i\theta (n-1)} \right)  \, d\theta\\
\int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta = \frac{1}{2i} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (i^n-(-i)^n) J_n(qr) \int_0^{2\pi} e^{i\theta (n-1)}\, d\theta \\
L'intégrale \int_0^{2\pi} e^{i\theta (n-1)}\, d\theta \, vaut\, 2 \pi \, si\, n=1 \\ et\, 0 \,sinon. \, prenons\, n=1\\
\int_0^{2\pi} \sin(qr \cos\theta) e^{-i\theta} \, d\theta = 2 \pi J_1 (qr)\\
A= 2 \pi \int_0^{r_{\text{max}}} r^2 e^{-\gamma r} J_1 (qr) \, dr\\
[/tex]

Je m'arrête là car impossible pour moi de trouver une formule analytique simple si  rmax est fini.
Mais dans le cas où rmax =∞ , je pense (après recherche) qu'on peut utiliser une formule de Gradshteyn & Ryzhik.

Bonne chance !

Bonjour,

merci pour votre réponse,

j'ai besoin du résultat (et je dois ensuite le sommer sur q). Je souhaite donc approcher ce résultat le plus précisément possible (qr n'est pas négligeable)...

si vous avez quelques idées de techniques je suis preneuse :)

bonne journée

Anaïs

Bonjour,
je me permets de vous demander de l'aide pour le calcul d'une intégrale.
J'ai besoin, dans le cadre d'un projet de physique, d'avoir une formule analytique (avec q en paramètre, la plus simple possible) pour l'intégrale suivante :
\[
\iint r^{2} \, e^{-\gamma r} \, e^{-i \theta} \, \sin\big(q r \cos(\theta)\big) \, d\theta \, dr
\]

(r de 0 à rmax et theta de 0 à 2pi)

en vous remerciant par avance,

Anaïs