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Bonjour,

En notant $\gamma$ un automorphisme de N et $\psi$ l'application  de $N \rtimes_{\gamma o f o \gamma^{-1}} H $ vers $ N \rtimes_f H $ qui au couple $(n,h)$associe le couple $( \gamma^{-1}  (n), h) $ , $\psi$ est un isomorphisme, sauf erreur.
Cela me semble OK, tous calculs intermédiaires faits, on retombe bien sur ses pieds.
J'ai préféré noter par $\gamma$ au lieu de g qui lui vit dans $Hom( H, Aut(N))$ déjà nommé g au début de la question d'Alice.
Ma notation de composition pour le produit semi-direct de gauche a une vocation symbolique (fausse stricto sensu ) afin de faire apparaître directement la conjugaison par $\gamma$.
Il est plus rigoureux de la noter à la place par $i_{\gamma} \;o \; f$, avec bien sûr $i_{\gamma}$ qui est l'automorphisme  intérieur associé à $\gamma$ appliqué sur Aut(N) évoqué en toute rigueur par Michel.
On a aussi  en inversant la position des deux groupes une expression symétrique sans prendre l'inverse de $\gamma$, qui peut surprendre de prime abord.
On a des conditions suffisantes pour déterminer (depuis f )un bon paquet de fonctions g répondant au problème, je ne sais pas si la question est soluble dans l'autre sens, donc en terme de conditions nécessaires...si on peut circonscrire complètement la question. Cela me semble difficile (sauf pour un expert en théorie des groupes, peut-être ?)

Ce dernier point est trop dur pour moi. Je n'arrive pas à trouver la forme de [tex]\rho[/tex]. Est ce que tu peux me proposer un début de réponse, et moi, je m'occuperai du reste.
Merci infiniment.

Merci.
Pour le deuxième point de ton message, que faut-t-il faire ? Montrer que le morphisme, [tex]\rho \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{i_g \circ f } H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (i_g (n),h)[/tex] est un isomorphisme ?
Merci d'avance.

Ah oui, on a, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_{f \circ \varphi} H \to N \rtimes_f H[/tex] défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex], qui est évidemment une bijection, car, [tex]\varphi[/tex] est une bijection.
Il reste à montrer que, pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h'))[/tex].
Soient, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex],
On a, [tex]\psi ((n,h)(n',h'))= \psi ( (nf(\varphi(h))(n'),hh') ) = (nf(\varphi(h))(n'),\varphi(hh'))[/tex]
On a, [tex]\psi ((n,h))\psi ((n',h')) = (n,\varphi(h))(n',\varphi(h'))= (nf(\varphi (h) (n'),\varphi (hh'))[/tex]
D'où, pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h'))[/tex].
Par conséquent, [tex]\psi[/tex] est un isomorphisme de [tex]N \rtimes_{f \circ \varphi}H[/tex] dans, [tex]N \rtimes_{f} H[/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Bonjour,

Montrons alors que, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,h)[/tex] est un isomorphisme. En effet,
[tex]\psi[/tex] est trivialement une bijection.
Montrons que, [tex]\psi[/tex] est un morphisme de groupes.
Pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h'))= \psi ( (nf(h)(n'),hh') ) = (nf(h)(n'),hh')[/tex].
Pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h))\psi ((n',h')) = (n,h)(n',h')= (nf(\varphi (h) (n'),hh')[/tex]
Pour que, [tex]\psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h'))[/tex], il faut que, [tex](nf(h)(n'),hh')=(nf(\varphi (h) (n'),hh')[/tex]
Donc, pour qu'il existe un isomorphisme entre [tex]N \rtimes_f H[/tex] et [tex]N \rtimes_g H[/tex], il faut que, [tex](nf(h)(n'),hh')=(nf(\varphi (h) (n'),hh') = (ng(h)(n'),hh')[/tex] ? Non ?

Merci d'avance.

La réponse est dans ta question, à un bémol près dont tu t'apercevras en y regardant de plus près.

Soit $h$ un automorphisme de $H$. Compare le produit semi-direct obtenu en tordant le produit pas $f : H \to \mathrm {Aut}(N)$ et celui obtenu en le tordant par $f\circ h$.
Soit $g$ un automorphisme de $N$, et $i_g : \mathrm {Aut}(N) \to \mathrm {Aut}(N)$ l'automorphisme intérieur défini par $u\mapsto gug^{-1}$. Compare le produit semi-direct obtenu en tordant le produit pas $f : H \to \mathrm {Aut}(N)$ et celui obtenu en le tordant par $i_g\circ f$.

Je n'ai pas compris où vous voulez en venir. Pouvez vous être plus précis s'il vous plaît ?
Merci d'avance.